Exercícios Resolvidos de Introdução às Séries

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Enunciado

Determinar o polinômio de MacLaurin de grau n = 2 m da função y = sin 2 ⁡ x .

Sugestão: Lembrar a fórmula trigonométrica cos ⁡ ( 2 x ) = 1 - 2 sin 2 ⁡ x e o desenvolvimento de MacLaurin de y = cos ⁡ t .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar o polinômio de MacLaurin de grau n = 2 m da função y = sin 2 ⁡ x . Ou seja, nós devemos encontrar uma aproximação em série de potências para essa função. Ele nos deu a sugestão de usarmos a fórmula trigonométrica cos ⁡ ( 2 x ) = 1 - 2 sin 2 ⁡ x e o desenvolvimento de MacLaurin de y = cos ⁡ t .

Tá, mas quem é a série de Maclaurin mesmo? Ela é um caso especial da série de Taylor, que é uma representação da função f centrada em zero e tem a forma geral:

f x = ∑ n = 0 ∞ f n ( 0 ) n ! x n = f 0 + f ' 0 1 ! x + f ' ' 0 2 ! x 2 + …

A série de Maclaurin para a função cosseno, que ele nos dá como sugestão, é encontrando usando suas derivadas (conforme a forma geral), de modo que tem-se:

cos ⁡ ( x ) = ∑ n = 0 ∞ - 1 n ( 2 n ) ! x 2 n = 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - x 6 6 ! + …

Mas como isso nos ajuda? Lembrando da outra sugestão do enunciado, a de usar cos ⁡ ( 2 x ) = 1 - 2 sin 2 ⁡ x . Assim, vamos poder usar o desenvolvimento de Maclaurin na identidade trigonométrica e descobrir uma representação para sin 2 ⁡ x .

Vamos lá!

Passo 2

Bom, nós temos f x = sin 2 ⁡ x e a identidade cos ⁡ ( 2 x ) = 1 - 2 sin 2 ⁡ x , que também pode ser escrita como:

sin 2 ⁡ x = 1 - cos ⁡ 2 x 2

Substituindo em f ( x ) :

f x = 1 - cos ⁡ 2 x 2

Separando as componentes:

f x = 1 2 - 1 2 cos ⁡ ( 2 x )

A representação da série de Maclaurin para a função cosseno, nós vimos que é:

cos ⁡ ( x ) = ∑ n = 0 ∞ - 1 n ( 2 n ) ! x 2 n

Então, para cos ⁡ ( 2 x ) , temos:

cos ⁡ ( 2 x ) = ∑ n = 0 ∞ - 1 n ( 2 n ) ! ( 2 x ) 2 n = ∑ n = 0 ∞ - 1 n ∙ 2 2 n ∙ x 2 n ( 2 n ) !

Substituindo em f ( x ) , vamos obter:

f x = 1 2 - 1 2 ∑ n = 0 ∞ - 1 n ∙ 2 2 n ∙ x 2 n ( 2 n ) !

Como 2 2 n 2 = 2 2 n - 1 , temos:

f x = 1 2 - ∑ n = 0 ∞ - 1 n ∙ 2 2 n - 1 ∙ x 2 n ( 2 n ) !

E temos nossa representação em série de Maclaurin. Agora para n = 2 m , vamos ter:

f x = 1 2 - ∑ 2 m = 0 ∞ - 1 2 m ∙ 2 4 m - 1 ∙ x 4 m ( 4 m ) !

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

f x = 1 2 - ∑ 2 m = 0 ∞ - 1 2 m ∙ 2 4 m - 1 ∙ x 4 m ( 4 m ) !

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