Exercícios Resolvidos de Introdução às Séries

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Enunciado

Exercício 11 Verifique quais das series abaixo são convergentes (sem necessariamente calcular o limite).

j) ∑ n = 0 + ∞ 1 2 n + 1 3 2 n + 1

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema queremos determinar se a série dada por ∑ n = 0 + ∞ 1 2 n + 1 3 2 n + 1 é convergente ou divergente.

Tem ideia de como fazemos isso? 🤔

Nesse caso, como temos um n no expoente no denominador, para determinar o raio e o intervalo de convergência temos que aplicar o teste da razão.

O teste da razão de uma série ∑ n = 0 ∞ a n consiste em calcular o limite de a n + 1 a n , ou seja

lim k → ∞ ⁡ a n + 1 a n

Para a série convergir, temos que ter lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n < 1

Se lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n > 1 a série diverge.

Mas se lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = 1 não podemos afirmar nada.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Nesse caso a série é dada por

∑ n = 0 + ∞ 1 2 n + 1 3 2 n + 1

Aplicando o teste da razão chegamos em

lim n → ∞ ⁡ 1 2 n + 1 + 1 3 2 n + 1 + 1 · 2 n + 1 3 2 n + 1 1

Simplificando...

lim n → ∞ ⁡ 2 n + 1 3 2 n + 1 2 n + 1 + 1 3 2 n + 1 + 1

lim n → ∞ ⁡ 2 n + 1 3 2 n + 1 2 n + 2 + 1 3 2 n + 2 + 1

lim n → ∞ ⁡ 2 n + 1 3 2 n + 1 2 n + 3 3 2 n + 1 + 2

lim n → ∞ ⁡ 2 n + 1 3 2 n + 1 2 n + 3 3 2 n + 1 · 3 2

lim n → ∞ ⁡ 2 n + 1 9 2 n + 3

Dividindo o numerador e o denominador por n

lim n → ∞ ⁡ 2 n n + 1 n 9 2 n n + 3 n

lim n → ∞ ⁡ 2 + 1 n 9 2 + 3 n

Fazendo n → ∞ , vemos que os termos 1 n e 3 n tendem a 0 , portanto

lim n → ∞ ⁡ 2 + 1 n 9 2 + 3 n = 2 + 0 9 2 + 0 = 1 9

Como esse resultado é menor que 1 a série converge!

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

Converge

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