Enunciado

Questão 1:

Determine se cada uma das afirmações abaixo é Verdadeira ou Falsa:

  1. Sejam ∑ n = 1 ∞ a n e ∑ n = 1 ∞ b n duas séries convergentes. Então ∑ n = 1 ∞ a n ⋅ b n é uma série convergente.
  2. V e r d a d e i r a                     F a l s a

  3. Sejam ∑ n = 1 ∞ a n e ∑ n = 1 ∞ b n duas séries convergentes, com a n > 0 e b n > 0 , para todo n ∈ N . Então ∑ n = 1 ∞ a n ⋅ b n é uma série convergente.

V e r d a d e i r a                     F a l s a

Passo 1

Ora, o fato de ter duas questões parecidas só que uma com mais restrições que a outra, já é um forte indício que uma vai ser verdadeiro e outra falsa, não é mesmo? Isso é um bizuzão de prova, heim! Fica ligado nisso sempre rsrs

E de fato é o que vai acontecer! A com menos detalhes (Item número 1) não vai ser verdadeira, mas a outra vai! Bora provar isso?

Passo 2

ITEM 1:

O item numero 1 simplesmente nos dá duas séries convergentes

∑ n = 1 ∞ a n       e       ∑ n = 1 ∞ b n

E afirma que a série

∑ n = 1 ∞ a n ⋅ b n

É convergente. Assim! Sem mais e nem menos . Você, como um moleque sagaz, pela falta de restrição já está logo desconfiado que isso não se aplica a todo mundo, então você vai procurar um jeito de provar isso. Uma forma de fazer isso é encontrando um caso que quebra isso!

Por exemplo, sabemos que as séries alternadas:

∑ n = 1 ∞ 1 n 1 / 2 - 1 n         e           ∑ n = 1 ∞ 1 n 1 / 3 - 1 n

Convergem pelo critério das séries alternadas (possuem termos que multiplicam o - 1 n que são decrescentes e são positivos).

Mas... O produto de...

∑ n = 1 ∞ 1 n 1 2 - 1 n ⋅ 1 n 1 3 - 1 n =

∑ n = 1 ∞ 1 n 1 2 + 1 3 - 1 n + n =

∑ n = 1 ∞ 1 n 5 / 6 - 1 2 n =

Como - 1 2 n = - 1 2 n = 1 sempre!

∑ n = 1 ∞ 1 n 5 / 6

ORA BOLAS! Essa série é a série p com o p = 5 6 < 1 , logo ela é uma série divergente!

Então a alternativa é falsa! Afinal, encontramos duas séries que quebram a regra, saca?

Passo 3

ITEM 2:

Agora sim aqui nós já temos restrições. Ou seja, queremos provar a mesma coisa só que agora com a n > 0 e b n > 0 , para todo n ∈ N .

De acordo com o teste da comparação no limite, se temos uma série conhecida de termos positivos (pode ser a de termo a n ):

∑ n = 1 ∞ a n

E uma série desconhecida que queremos conhecer melhor quanto à convergência:

∑ n = 1 ∞ a n ⋅ b n

Também de termos positivos (sim, pois a n é maior que 0 e também o b n ). Então, podemos aplicar o teste da comparação no limite no qual consiste em calcular o limite de:

lim n → ∞ ⁡ a n ⋅ b n a n

Se esse limite for 0 ou infinito, então podemos garantir que a série que queremos saber segue o mesmo da série de teste (que converge no caso), saca? Calculando então o limite...

lim n → ∞ ⁡ a n ⋅ b n a n   →

lim n → ∞ ⁡ b n

Como a série de b n ...

∑ n = 1 ∞ b n

Converge. Isso significa que pelo teste da divergência, ela tem que necessariamente ter...

lim n → ∞ ⁡ b n = 0

Então prontinho! Assim garantimos que...

lim n → ∞ ⁡ a n ⋅ b n a n = 0

E, portanto, a série ∑ n = 1 ∞ a n ⋅ b n   segue o mesmo que a série de teste ∑ n = 1 ∞ a n , ou seja, ela converge!

Resposta

  1. Falso.
  2. Verdadeiro.

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