Exercícios Resolvidos de Introdução às Séries

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Enunciado

4. Verifique se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique

provando as verdadeiras e apresentando um contra-exemplo para as falsas.

(b) Sejam a n e b n duas sequências tais que, para todo n ∈ N , temos

a n ≤ b n . Se b n é convergente então a n é convergente.

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nessa questão, temos algumas afirmações e nosso objetivo é provar que tal afirmação é verdadeira ou falsa.

Nesse caso, a afirmação nos diz que se temos duas sequências a n e b n e a n é menor que b n , então se b n é convergente, logo a n é convergente.

E então! O que você acha?? 🤔

Podemos imaginar duas sequências a n e b n em que b n seja maior de a n para todo n e que faça a afirmação ser falsa?

Bora ver! 😉

Passo 2

Se considerarmos b n como uma sequência convergente dada por 1 n .

Sabemos que essa sequência converge, pois, seu limite tende a uma constante

lim n → ∞ ⁡ 1 n

Como n tende a um valor muito grande, 1 / n tende a um valor muito pequeno, muito próximo de 0 , logo

lim n → ∞ ⁡ 1 n = 0

Assim, vemos que b n é convergente.

Agora vamos imaginar uma sequência a n que seja menor que b n para todo n natural.

Que tal a sequência - n / 5 ? dessa forma, como b n está contida no primeiro quadrante e a n no segundo quadrante, então a n ≤ b n .

Dessa forma, calculando o limite de a n , temos

lim n → ∞ ⁡ - n 5

Quando n tende ao infinito temos um numero muito grande dividido por um numero significativamente menor, então

lim n → ∞ ⁡ - n 5 = ∞

Como o limite de a n resultou em , então a n diverge!

Portanto, a afirmação do enunciado não é verdadeira em todos os casos.

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

Falsa

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