Exercícios Resolvidos de Introdução às Séries

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Enunciado

(Capítulo 11.3 – Exercício 33) A função zeta de Riemann ζ é definida por

ζ x = ∑ n = 1 ∞ 1 n x

e é usada em teoria de números para estudar a distribuição de números primos. Qual é o domínio de ζ ?

Passo 1

Opaaa galera, fala!!

Antes de tudo, não se assusta com esse tal de ζ não, é um símbolo meio estranho mas ele vai ser nosso amigo aqui

Nada mais nada menos, o que queremos nesse exercício é determinar quando aquela série ali converge hahaha só isso, juro!

Então vamos lá aplicar os testes que conhecemos

Passo 2

Temos

ζ x = ∑ n = 1 ∞ 1 n x

Esta função apresenta algo de familiar, não?

Se repararmos bem, aquele x no n x se assemelha bastante ao p nas p-séries que conhecemos, não? Essa vai ser a ideia da questão meus amigosss

Uma p-série converge quando p > 1 . Então para a série apresentada na função poder convergir, precisaríamos que x > 1 , tal como analisamos as p-séries. E é aí que encontramos o domínio da função.

O domínio da função são os valores de x tais que a função exista. Portanto, chegamos à conclusão de que:

D o m   f = x ∈ R   t a l   q u e   x > 1

Resposta

D o m   f = x ∈ R   t a l   q u e   x > 1

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3-4. Calcule a soma da série ∑ n = 1 ∞ a n cujas somas parciais são dadas.4. s n = n 2 - 1 4 n 2 + 1
5-8. Calcule os oito primeiros termos da sequência de somas parciais corretas para quatro casas decimais. Parece que a série é convergente ou divergente?5. ∑ n = 1 ∞ 1 n 3
57-63. Encontre os valores de x para os quais a série converge. Calcule a soma da série para esses valores de x .63. ∑ n = 0 ∞ e n x
57-63. Encontre os valores de x para os quais a série converge. Calcule a soma da série para esses valores de x .59. ∑ n = 0 ∞ x - 2 n 3 n
75. Considere a série ∑ n = 1 ∞ 1 n + 1 ! Calcule as somas parciais s 1 ,s 2 ,s 3 e s 4 . Você reconhece os denominadores? Use o padrão para conjecturar uma fórmula para s n .Use indução matemática pa