Exercícios Resolvidos de Matriz que Representa uma TL

A2 T17

Considere a matriz:

A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9

a Determine a transformação T : P 2 → R 3 associada à matriz A com relação às bases α = 1 + x , 1 - x , x 2 , β = 1 1 1 , 1 1 0 , 1 0 0 .

Passo 1

a Temos que A = T β α . Então:

T 1 + x β = 1,4 , 7

T 1 + x = 1 ∙ 1 1 1 + 4 ∙ 1 1 0 + 7 ∙ 1 0 0 = 12 5 1

T 1 - x β = 2,5 , 8

T 1 - x = 2 ∙ 1 1 1 + 5 ∙ 1 1 0 + 8 ∙ 1 0 0 = 15 7 2

T x 2 β = 3,6 , 9

T x 2 = 3 ∙ 1 1 1 + 6 ∙ 1 1 0 + 9 ∙ 1 0 0 = 18 9 3

Como 1 + x , 1 - x , x 2 é uma base de P 2 , qualquer polinômio de P 2 pode ser escrito como função da base:

a + b x + c x 2 = k 1 + x + l 1 - x + m x 2

a + b x + c x 2 = k + l + k - l x + m x 2

Daí, temos:

k + l = a k - l = b m = c       I I I I I I

Fazendo I + I I :

2 k = a + b

k = a + b 2

Fazendo I - I I :

2 l = a - b

l = a - b 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Aplicando a transformação nos dois lados da igualdade:

a + b x + c x 2 = k 1 + x + l 1 - x + m x 2

T a + b x + c x 2 = T k 1 + x + l 1 - x + m x 2

T a + b x + c x 2 = k T 1 + x + l T 1 - x + m T x 2

Substituindo o resultado das transformações:

T a + b x + c x 2 = k 12,5 , 1 + l 15,7 , 2 + m 18,9 , 3

Substituindo os coeficientes:

T a + b x + c x 2 = a + b 2 12,5 , 1 + a - b 2 15,7 , 2 + c 18,9 , 3

T a + b x + c x 2 = 27 a 2 - 3 b 2 + 18 c , 6 a - b + 9 c , 3 a 2 - b 2 + 3 c

Resposta

a

T a + b x + c x 2 = 27 a 2 - 3 b 2 + 18 c , 6 a - b + 9 c , 3 a 2 - b 2 + 3 c

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