Exercícios Resolvidos de Matriz que Representa uma TL

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 216. – 28

Seja a transformação linear T : R 2 → R 3 , T x , y = 2 x - y , x + 3 y , - 2 y e as bases A = - 1,1 , 2,1 e B = 0,0 , 1 , 0,1 , - 1 , 1,1 , 0 . Determinar T B A . Qual a matriz T C A , onde C é a base canônica do R 3 ?

Passo 1

Vamos começar resolvendo com as bases do domínio e do contra domínio já fixadas:

A = - 1,1 , 2,1

B = 0,0 , 1 , 0,1 , - 1 , 1,1 , 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Aplicamos a transformação nos vetores da base A do domínio:

T - 1,1 = - 2 - 1 , - 1 + 3 , - 2 = - 3,2 , - 2

T 2,1 = 4 - 1,2 + 3 , - 2 = 3,5 , - 2

Passo 3

Escrevemos esses vetores na base B do contra domínio.

- 3,2 , - 2 = a 0,0 , 1 + b 0,1 , - 1 + c 1,1 , 0

c = - 3 b + c = 2 ⇒ b = 5 a - b = - 2 ⇒ a = 3

3,5 , - 2 = a 0,0 , 1 + b 0,1 , - 1 + c 1,1 , 0

c = 3 b + c = 5 ⇒ b = 2 a - b = - 2 ⇒ a = 0

Portanto,

- 3,2 , - 2 B = 3,5 , - 3

3,5 , - 2 B = 0,2 , 3

Passo 4

Montamos uma matriz com os vetores que achamos como colunas:

T B A = 3 0 5 2 - 3 3

Passo 5

Agora pra base canônica do R 3 teremos menos trabalho. Vamos pegar os resultados lá do Passo 2 onde aplicamos a T L nos vetores de A :

T - 1,1 = - 3,2 , - 2

T 2,1 = 3,5 , - 2

Só que como a base do contra domínio agora é a canônica é só jogarmos isso nas colunas de uma matriz:

T C A = - 3 3 2 5 - 2 - 2

Resposta

T B A = 3 0 5 2 - 3 3

T C A = - 3 3 2 5 - 2 - 2

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