Exercícios Resolvidos de Matriz que Representa uma TL

A2 T17; A1 T8

Seja B = v 1 , v 2 uma base de R 2 . A transformação linear T está definida através de T v 1 = v 2 , T v 2 = v 1 + v 2 . Indique a matriz que representa a inversa de T na base B .

a   T - 1 B = - 1 1 0 1

b     T - 1 B = - 1 1 1 0

c     T - 1 B = 1 - 1 1 0

d     T - 1 B = 1 1 - 1 0

Passo 1

Bom, para acharmos T B basta aplicarmos a transformação nos vetores da base B e escrevermos o resultado em função dessa base também. Por sorte isso tudo já foi feito por nós haha. Agora é só jogarmos nas colunas de uma matriz:

T v 1 = v 2 = 0,1 B

T v 2 = v 1 + v 2 = 1,1 B

T B = 0 1 1 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Achamos a T na base B , mas repare que ele pede a inversa! Bom, isso não é problema né, já que inverter matrizes 2 × 2 é fácil fácil:

T B = 0 1 1 1 ⇒ T - 1 B = 1 det ⁡ T B 1 - 1 - 1 0 = - 1 1 1 0

Passo 3

Alternativamente, poderíamos ter montado direto nossa matriz inversa! Temos que:

T v 1 = v 2 ⇒ T - 1 v 2 = v 1

T v 2 = v 1 + v 2 ⇒ T - 1 v 1 + v 2 = v 2 ⇒ T - 1 v 1 + T - 1 v 2 ⏟ v 1 = v 2 ⇒ T - 1 v 1 = - v 1 + v 2

Logo, temos que:

T - 1 B = - 1 1 1 0

A mesma resposta que obtemos do outro modo! Letra b .

Resposta

Letra ( b )

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