Exercícios Resolvidos de Matriz que Representa uma TL

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 218. – 35

Mostrar que a matriz do operador linear identidade

I : R n R n

v v

em uma base qualquer, é a matriz identidade n × n .

Passo 1

Eu sei, mostrar, que saco né? Mas vamos lá:

O enunciano pediu pra mostrarmos que a matriz que representa a transformação identidade em qualquer espaço e com qualquer base, é a matriz identidade n × n .

Então nós não só não podemos definir os vetores da base, mas também não podemos definir seu tamanho.

Como a transformação vai do R n para o R n , a base do domínio e do contra domínio será a mesma, dada por:

α = { v 1 , v 2 , , v n - 1 , v n }

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Temos nossa base. Agora aplicamos cada vetor dessa base na transformação.

Como é a transformação identidade, ela levará cada vetor da base nele mesmo:

I v 1 = v 1

I v 2 = v 2

I v n - 1 = v n - 1

I v n = v n

Passo 3

Agora passamos cada um desses vetores para a base arbitrária α :

v 1 = x 1 v 1 + x 2 v 2 + + x n - 1 v n - 1 + x n v n

v 2 = x 1 v 1 + x 2 v 2 + + x n - 1 v n - 1 + x n v n

v n - 1 = x 1 v 1 + x 2 v 2 + + x n - 1 v n - 1 + x n v n

v n = x 1 v 1 + x 2 v 2 + + x n - 1 v n - 1 + x n v n

No entanto, como α é uma base de R n , e os vetores que vamos escrever em função dela fazem todos parte dela, nenhum vetor v i , i [ 1 , n ] , pode ser formado como uma combinação de outros vetores da base. Logo:

v 1 = 1 v 1 + 0 v 2 + + 0 v n - 1 + 0 v n = ( 1,0 , , 0,0 )

v 2 = 0 v 1 + 1 v 2 + + 0 v n - 1 + 0 v n = ( 0,1 , , 0,0 )

v n - 1 = 0 v 1 + 0 v 2 + + 1 v n - 1 + 0 v n = 0,0 , , 1,0

v n = 0 v 1 + 0 v 2 + + 0 v n - 1 + 1 v n = 0,0 , , 0,1

Passo 4

-

Pegamos esses vetores e jogamos nas colunas de uma matriz n × n :

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

E é isso aí, ta mostrado ;)

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