Exercícios Resolvidos de Matriz que Representa uma TL

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Enunciado

Seja T : R 3 → R 3 a transformação linear tal que:

T 1,0 , 2 = 1,0 , 2 ,               T 0,1 , 2 = 0,0 , 0 ,             T 0,0 , 1 = ( 0,0 , - 1 )

Se A é a matriz que representa T com respeito à base canônica de R 3 , então a soma dos elementos na segunda coluna da matriz A 1000 é igual a:

Escolha uma opção:

  1. -1
  2. 1
  3. 0
  4. 2
  5. -2

Passo 1

Faaala, galerinha! Repare que a matriz A é tal que:

A ⋅ 1 0 0 0 1 0 2 2 1 = 1 0 0 0 0 0 2 0 - 1

Uma vez que multiplicada pela primeira coluna da matriz de domínio resulta a primeira coluna da matriz de contradomínio e assim por diante. Assim:

A ⋅ 1 0 0 0 1 0 2 2 1 = a b c d e f g h i ⋅ 1 0 0 0 1 0 2 2 1 = a + 2 c b + 2 c c d + 2 f e + 2 f f g + 2 i h + 2 i i

⇒ a + 2 c b + 2 c c d + 2 f e + 2 f f g + 2 i h + 2 i i = 1 0 0 0 0 0 2 0 - 1

Assim, c = f = 0 ,   i = - 1 e:

a b 0 d e 0 g - 2 h - 2 - 1 = 1 0 0 0 0 0 2 0 - 1

Logo, a = 1 ,   b = d = e = 0 , g = 4 e h = 2 , de tal forma que:

A = 1 0 0 0 0 0 4 2 - 1

Passo 2

Agora, para determinarmos A 1000 , busquemos algum padrão. Observe que:

A 2 = 1 0 0 0 0 0 4 2 - 1 ⋅ 1 0 0 0 0 0 4 2 - 1 = 1 0 0 0 0 0 0 - 2 1

E ainda:

A 4 = A 2 ⋅ A 2 = 1 0 0 0 0 0 0 - 2 1 ⋅ 1 0 0 0 0 0 0 - 2 1 = 1 0 0 0 0 0 0 - 2 1

Assim, observe que A 2 é idempotente A 2 n = A 2 ⋅ … ⋅ A 2 = A 2   , tal que:

A 1000 = A 2

Cuja soma dos elementos da segunda coluna é 0 + 0 + - 2 = - 2 .

Resposta

  1. -2

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