Exercícios Resolvidos de Matriz que Representa uma TL

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Enunciado

Seja T : P 2 R → R 3 a transformação linear definida por T p = ( p 1 ,   p 0 ,   p ' ( 2 ) ) , para todo p ∈ P 2 ( R ) e considere as bases:

B = x + 3 ,   x 2 - x ,   x + 1     e     C = { 1,0 , 0 , 0,1 , 1 , ( 0,0 , 1 ) }

De P 2 R e R 3 , respectivamente. Temos que a soma das entradas na diagonal principal da matriz T B C é igual a:

Escolha uma opção:

  1. 5
  2. 2
  3. 4
  4. 1
  5. 3

Passo 1

Faaaala, galerinha! Dado B = { e 1 ,   e 2 , e 3 } e C = { u 1 ,   u 2 ,   u 3 } as colunas da matriz que representa a transformação são dadas por

T e i = a 1 i u 1 i + a 2 i u 2 i + a 3 i u 3 i

Ou seja, escrevemos as imagens da base do domínio na base da própria imagem e tomamos os coeficientes pra coluna que estamos construindo.

Passo 2

Assim, aplicando T p = ( p 1 ,   p 0 ,   p ' ( 2 ) ) a B , temos:

T x + 3 = 1 + 3,0 + 3 ,   1 = ( 4,3 , 1 )

T x 2 - x = 1 2 - 1,0 2 - 0,2 ⋅ 2 - 1 = ( 0,0 , 3 )

T x + 1 = 1 + 1,0 + 1,1 = ( 2,1 , 1 )

Agora, devemos escrever estas imagens em função da base C :

4,3 , 1 = a 1,0 , 0 + b 0,1 , 1 + c ( 0,0 , 1 )

( 0,0 , 3 )   = d 1,0 , 0 + e 0,1 , 1 + f ( 0,0 , 1 )

2,1 , 1 = g 1,0 , 0 + h 0,1 , 1 + j ( 0,0 , 1 )

Com a matriz da transformação dada por:

a d g b e h c f j

Sintetizando as equações, temos:

4,3 , 1 = a , b , b + c

( 0,0 , 3 )   = ( d , e , e + f )

2,1 , 1 = ( g , h , h + j )

Queremos apenas os elementos da diagonal principal a ,   e ,   j , logo observe que igualando as coordenadas, temos:

a = 4

e = 0

1 = h + j       ,         1 = h ⇒ j = 0

Logo, a + e + j = 4 + 0 + 0 = 4 .

Resposta

c. 4

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