Exercícios Resolvidos de Matriz que Representa uma TL

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Enunciado

16) Seja T : R 2 → R 3 a transformação linear tal que:

T B C = 1 1 - 2 1 1 - 3 ,

Em que B denota a base canônica de R 2 e C denota a base de R 3 dada por:

C = 1,1 , 1 ,   0,1 , 1 ,   0,0 , 1 .

Temos que T ( - 1,2 ) é igual a:

a) 1,4 , - 7 ;

b) ( - 1 ,   3 ,   7 ) ;

c) ( - 1 ,   0 ,   7 ) ;

d) 1,5 ,   - 2 ;

e) ( - 1 ,   - 3 ,   11 ) .

Passo 1

Faaaaala gente bonita do Responde Aí, tudo certinho com vocês?

Nessa questão temos uma transformação linear T , com domínio em R 2 e contradomínio no R 3 . A matriz que representa essa transformação é dada por:

T B C = 1 1 - 2 1 1 - 3

Onde B é a base canônica no R 2 , ou seja:

B = 1,0 ,   0,1

E C é a base do R 3 dada por:

C = 1,1 , 1 ,   0,1 , 1 ,   0,0 , 1

Assim, essa matriz T B C recebe um vetor do R 2 escrito na base canônica, normalzinho, e devolve um vetor do R 3 escrito na base C . Tudo tranquilo até aqui?

O objetivo da questão é determinar T ( - 1,2 ) escrito na base canônica do R 3 .

Passo 2

A grande dificuldade desse exercício é que, após aplicarmos a matriz T B C recebemos um vetor que está escrito na base C , mas queremos saber quanto vale T ( - 1,2 ) na base canônica do R 3 .

O que podemos fazer?

A ideia é fazer a mudança de base de C para a base canônica do R 3 .

Beleza, mas pra começar, vamos determinar quanto que vale T ( - 1,2 ) na base C mesmo.

T - 1,2 =   1 1 - 2 1 1 - 3 ⋅ - 1 2

⇒ T - 1,2 = 1 4 - 7

Ou seja:

T - 1,2 = 1,4 , - 7 C

Massa! Já sabemos quanto que vale T ( - 1,2 ) na base C . Agora é só fazer a mudança de base.

Daí, sendo ( a , b , c ) o vetor T ( - 1,2 ) escrito na base canônica do R 3 , temos:

a , b , c = 1 ⋅ 1,1 , 1 + 4 ⋅ 0,1 , 1 - 7 ⋅ 0,0 , 1

∴ a , b , c = ( 1 ,   5 ,   - 2 )

Prontinho, na base canônica do R 3 temos que:

T - 1,2 = 1,5 , - 2

Essa até que foi rápida né?! Conseguiram entender bem a solução? O segredo é dominar essa ideia de escrever um vetor em bases diferentes.

Obrigado pela atenção gente, até a próxima 😉

Resposta

Letra d.

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