Exercícios Resolvidos de Matriz que Representa uma TL

UFRJ, Álgebra Linear, P2 - 2017.1, Questão 10

Considere a matriz Equation tal que Equation e Equation Assinale o produto cujo resultado é a matriz Equation

a) Equation

b) Equation

c) Equation

d) Equation

Passo 1

Como toda matriz é uma transformação e toda transformação é uma matriz, vou encontrar essa matriz como faço para encontrar transformações.

Tenho que:

Equation

Equation

Esses vetores formam uma base para o domínio, vou achar a tranformação dos vetores da base canônica para botar nas colunas da matriz:

Equation

Equation

Opa, eu tenho o valor dessas tranformações:

Equation

Agora com Equation

Equation

Equation

E a matriz Equation

Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Podemos montar dois sistemas lineares:

Equation

Equation

Vou passar para a forma matricial:

Equation e Equation

Podemos juntar esses dois em um sistema só:

Equation

Isso parece o que? O calculo da inversa da matriz Equation , e é isso mesmo que estamos fazendo! Mas pera, calculando a inversa, vamos achar o que?

Os valores de Equation e Equation , porque depois de invertida, a matriz ficará assim:

Equation

Beleza, mas não são esses valores que estamos querendo, queremos as tranformações Equation e Equation

Equation

Equation

Equation

Passo 3

Agora pensa um pouquinho aqui comigo. Olha como essa matriz é igual a essa multiplicaçãoo de matrizes:

Equation

Lembrando que Equation , então, minha matriz Equation vai ser Equation

Repara que isso é multiplicação de duas matrizes em que a primeira é formada pelos vetores da imagem de uma base do domínio nas colunas e a segunda é o inverso da matriz que tem os vetores correspondents do domínio nas colunas!

Agora que você já sabe disso, quando ver uma questão assim, não precisa fazer esse bando de coisa!

Resposta

c

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