Enunciado

Considere a transformação linear T : R 3 → R 3 definida por:

T v = v × 1,1 , 1 × 0,1 , 1

(a) Determine a matriz T ε da transformação linear T na base canônica.

(b) Determine a equação cartesiana da imagem de T. Lembre que:

i m a g e m T = { w ∈ R   t a l   q u e   e x i s t e   v ∈ R 3   t a l   q u e   T v = w }

(c) Considere a base:

γ = 1,1 , 1 , 1 , - 1,2 , 6,0 , 0

Determine a matriz T γ da transformação linear T na base γ .

(d) Considere o plano de equação cartesiana:

ρ : x = 0

Determine uma base da imagem T ( ρ ) de ρ pela transformação T.

Passo 1

(a) Temos a base canônica do R 3 :

ε = 1,0 , 0 , 0,1 , 0 , 0,0 , 1

Para achar a matriz que representa T na base ε , aplicamos T aos vetores da base ε e colocamos os resultados nas colunas de uma matriz.

Não esqueça que só podemos fazer isso direto pois estamos trabalhando com a base canônica!!

Então usando a fórmula dada no enunciado:

T 1,0 , 0 = 1,0 , 0 × 1,1 , 1 × 0,1 , 1 = 0 , - 1,1 × 0,1 , 1 = ( - 2,0 , 0 )

T ( 0,1 , 0 ) = 0,1 , 0 × 1,1 , 1 × 0,1 , 1 = 1,0 , - 1 × 0,1 , 1 = ( 1 , - 1,1 )

T 0,0 , 1 = 0,0 , 1 × 1,1 , 1 × 0,1 , 1 = 1 , - 1,0 × 0,1 , 1 = ( 1,1 , - 1 )

Logo:

Passo 2

(b) A imagem de T é gerada pela transformação T aplicada aos vetores da base ε .

Vimos que:

T 1,0 , 0 = - 2,0 , 0

T 0,1 , 0 = 1 , - 1,1

T 0,0 , 1 = 1,1 , - 1

Esses três vetores 2,0 , 0 ,   ( 1 , - 1,1 ) e ( 1,1 , - 1 ) não são paralelos entre si e geram a imagem de T.

Mas lembra lá da definição da transformação T:

T v = v × 1,1 , 1 × 0,1 , 1

Como esses vetores são resultados do produto vetorial entre algum vetor e o vetor ( 0,1 , 1 ) , então todos são ortogonais ao vetor ( 0,1 , 1 ) .

Então todos eles pertencem ao plano de equação:

y + z = 0

Pois a equação geral do plano é a x + b y + c z + d = 0 , onde a , b , c são as coordenadas de um vetor normal ao plano, e o nosso vetor normal é o 0,1 , 1 .

Por isso, a equação cartesiana da imagem de T:

y + z = 0

Passo 3

(c) Para achar a matriz que representa T na base γ , aplicamos a transformação T aos vetores da base, escrevemos os resultados em coordenadas da base γ e só então colocamos essas coordenadas nas colunas de uma matriz.

Foi dado:

γ = 1,1 , 1 , 1 , - 1,2 , 6,0 , 0

Podemos usar a definição de T dada no enunciado ou então multiplicar cada um desses vetores pela matriz que achamos no item (a)!

Fazendo do segundo jeito, para o vetor (1,1,1):

Esse vetor pode ser escrito como:

0,0 , 0 = 0 1,1 , 1 + 0 1 , - 1,2 + 0 6,0 , 0

Logo:

0,0 , 0 γ = 0,0 , 0

Já para o vetor (1,-1,2):

Agora queremos achar a,b e c tais que:

- 1,3 , - 3 = a 1,1 , 1 + b 1 , - 1,2 + c 6,0 , 0

- 1,3 , - 3 = a + b + 6 c , a - b , a + 2 b

a + b + 6 c = - 1 a - b = 3 a + 2 b = - 3

Pela segunda equação:

a = 3 + b

Substituindo na terceira:

3 + b + 2 b = - 3 ⇒ b = - 2

Logo:

a = 1

Substituindo esses valores na primeira equação:

1 - 2 + 6 c = - 1 ⇒ c = 0

Então achamos que:

- 1,3 , - 3 γ = ( 1 , - 2,0 )

Por último, vamos aplicar T ao vetor (6,0,0):

E as coordenadas do vetor (-12,0,0) na base γ são:

- 12,0 , 0 γ = 0,0 , - 2

Portanto a matriz que representa T na base γ é:

Passo 4

(d) Uma base para o plano ρ pode ser dada por:

0,1 , 0 , 0,0 , 1

Calculando a imagem dos vetores da base:

A imagem do plano vai ser então gerada por esses dois vetores 1 , - 1,1 e 1,1 , - 1 .

Como os dois não são paralelos (um não é múltiplo escalar do outro), então eles formam uma base de T ρ .

Resposta

(a)

(b) y + z = 0

(c)

(d) { 1 , - 1,1 , ( 1,1 , - 1 ) }

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