Exercícios Resolvidos de Matriz que Representa uma TL

PUCRIO, Álgebra Linear I - MAT1200, P4 - 2018.2, Questão 1abcd

Considere a transformação linear Equation definida por:

Equation

(a) Determine a matriz Equation da transformação linear T na base canônica.

(b) Determine a equação cartesiana da imagem de T. Lembre que:

Equation

(c) Considere a base:

Equation

Determine a matriz Equation da transformação linear T na base Equation .

(d) Considere o plano de equação cartesiana:

Equation

Determine uma base da imagem Equation de Equation pela transformação T.

Passo 1

(a) Temos a base canônica do Equation

Equation

Para achar a matriz que representa T na base Equation , aplicamos T aos vetores da base Equation e colocamos os resultados nas colunas de uma matriz.

Não esqueça que só podemos fazer isso direto pois estamos trabalhando com a base canônica!!

Então usando a fórmula dada no enunciado:

Equation

Equation

Equation

Logo:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(b) A imagem de T é gerada pela transformação T aplicada aos vetores da base Equation .

Vimos que:

Equation

Equation

Equation

Esses três vetores Equation e Equation não são paralelos entre si e geram a imagem de T.

Mas lembra lá da definição da transformação T:

Equation

Como esses vetores são resultados do produto vetorial entre algum vetor e o vetor Equation , então todos são ortogonais ao vetor Equation .

Então todos eles pertencem ao plano de equação:

Equation

Pois a equação geral do plano é Equation , onde Equation são as coordenadas de um vetor normal ao plano, e o nosso vetor normal é o Equation

Por isso, a equação cartesiana da imagem de T:

Equation

Passo 3

(c) Para achar a matriz que representa T na base Equation , aplicamos a transformação T aos vetores da base, escrevemos os resultados em coordenadas da base Equation e só então colocamos essas coordenadas nas colunas de uma matriz.

Foi dado:

Equation

Podemos usar a definição de T dada no enunciado ou então multiplicar cada um desses vetores pela matriz que achamos no item (a)!

Fazendo do segundo jeito, para o vetor (1,1,1):

Esse vetor pode ser escrito como:

Equation

Logo:

Equation

Já para o vetor (1,-1,2):

Agora queremos achar a,b e c tais que:

Equation

Equation

Equation

Pela segunda equação:

Equation

Substituindo na terceira:

Equation

Logo:

Equation

Substituindo esses valores na primeira equação:

Equation

Então achamos que:

Equation

Por último, vamos aplicar T ao vetor (6,0,0):

E as coordenadas do vetor (-12,0,0) na base Equation são:

Equation

Portanto a matriz que representa T na base Equation é:

Passo 4

(d) Uma base para o plano Equation pode ser dada por:

Equation

Calculando a imagem dos vetores da base:

A imagem do plano vai ser então gerada por esses dois vetores Equation e Equation

Como os dois não são paralelos (um não é múltiplo escalar do outro), então eles formam uma base de Equation

Resposta

(a)

(b) Equation

(c)

(d) Equation

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