Exercícios Resolvidos de Matriz que Representa uma TL

PUCRIO, Álgebra Linear I - MAT1200, P3 - 2017.2, Questão 3bcde

Equation Seja Equation o espaço vetorial das matrizes quadradas de duas linhas e duas colunas. Para Equation denote Equation sua transposta, ou seja, se Equation , então Equation

Considere a aplicação Equation dada por Equation

(b) Determine uma base de Equation (núcleo de Equation ).

(c) T é bijetora?

(d) Seja Equation base de Equation . Determine Equation .

(e) Determine uma base de Equation (imagem de Equation ).

Passo 1

b)

Equation

O núcleo vai ser composto pelas matrizes Equation que fazem Equation ser a matriz nula!

Equation

Daí tiramos um sisteminha linear:

Equation

Temos, então Equation

Logo, Equation

Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

c)

Não, como achamos um espaço com dimensão maior que zero para o núcleo Equation , a transformação não vai ser injetora, e consequentemente não vai poder ser bijetora!

Passo 3

d) Temos que achar a transformação de cada element dessa base e botar em colunas de uma matriz:

Equation

Equation

Equation

Equation

Agora vamos por esses resultados como vetores coluna em uma matriz:

Equation

Passo 4

e)

Já vimos que se Equation , Equation , essa aí é a cara da imagem da transformação.

Equation

Logo, Equation

Resposta

b) Equation

c) Não

d) Equation

e) Equation

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