Exercícios Resolvidos de Matriz que Representa uma TL

UFPE, Álgebra Linear, 2º EE - 2015.1, Questão 1

Julgue verdadeira ou falsa cada afirmação. Justifique.

Equation Existe transformação linear Equation que satisfaz Equation , Equation , Equation .

Equation Qualquer que seja a transformação linear Equation , seu núcleo Equation tem dimensão pelo menos 16.

Equation Seja Equation uma transformação linear tal que a sua matriz Equation , com respeito a um certo par de bases Equation e Equation , vale Equation . Então Equation é um isomorfismo.

Passo 1

Equation Para uma transformação linear existir o que precisamos garantir? Que ela seja de fato linear né haha. Vamos verificar isso aí! Pela linearidade da transformação temos:

Equation

Convenientemente, nos foi dado o valor de todos os termos da nossa igualdade no enunciado haha. Substituindo:

Equation

Equation

Bom, claramente temos um problema nessa igualdade! Logo, chegamos à conclusão de que Equation não é linear. A alternativa é falsa.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Equation Pelo Equation , temos:

Equation

Temos então que:

Equation

O domínio de Equation nós sabemos que é o Equation , que possui dimensão Equation . A imagem de Equation é um subespaço vetorial do contra domínio de Equation , que é Equation cuja dimensão é Equation . Logo, Equation . Finalmente, temos:

Equation

Equation

Logo, a afirmativa é verdadeira.

Passo 3

Equation Para Equation ser um isomorfismo, Equation tem que ser injetiva e sobrejetiva! Logo, a representação de Equation em uma base qualquer também tem de ser sobrejetiva e injetiva! Agora repara que a matriz que ele deu tem a segunda coluna igual a terceira! Daí já vemos que a matriz não é sobrejetiva, então essa é falsa!

Resposta

Equation Falsa

Equation Verdadeira

Equation Falsa

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