Exercícios Resolvidos de Matriz que Representa uma TL

UFRJ, Álgebra Linear, P2 - 2013.1, Questão 05

A matriz que representa a transformação linear de Equation em Equation , cuja imagem está no plano Equation é:

Equation

Equation

Equation

Equation

Passo 1

Se a transformação linear é de Equation em Equation , então a matriz que a representa é Equation .

Isso já descarta as letras Equation e Equation .

Além disso, a gente sabe que a imagem dessa TL é na verdade o espaço gerado pelas colunas da matriz.

Então, particularmente, os vetores-coluna têm que pertencer à imagem (afinal, se eles geram esse plano eles têm que pertencer ao plano!)

Agora é só verificar se os vetores-coluna das letras Equation e Equation pertencem ao plano.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

  • Se Equation pertence ao plano Equation , então Equation , só que isso não é verdade.
  • Se Equation pertence ao plano Equation , então Equation , só que isso não é verdade.
  • Se Equation pertence ao plano Equation , então Equation , o que de fato é verdade!
  • Se Equation pertence ao plano Equation , então Equation , o que de fato é verdade!

Então os vetores da letra Equation nem pertencem à imagem, como poderiam ser uma base para ela?

Já os vetores da letra Equation pertencem à imagem e são Equation , então eles são uma base para essa imagem.

Então a matriz associada à transformação linear tem que ser a da letra Equation !

Resposta

Letra Equation

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