Exercícios Resolvidos de Matriz que Representa uma TL

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Enunciado

A matriz que representa a transformação linear de R 2 em R 3 , cuja imagem está no plano x + y + 4 z = 0 é:

a   4 0 0 4 1 1

b   4 0 1 0 4 1

c   4 0 0 4 - 1 - 1

d   4 0 - 1 0 4 - 1

Passo 1

Se a transformação linear é de R 2 em R 3 , então a matriz que a representa é 3 × 2 .

Isso já descarta as letras ( b ) e ( d ) .

Além disso, a gente sabe que a imagem dessa TL é na verdade o espaço gerado pelas colunas da matriz.

Então, particularmente, os vetores-coluna têm que pertencer à imagem (afinal, se eles geram esse plano eles têm que pertencer ao plano!)

Agora é só verificar se os vetores-coluna das letras ( a ) e ( c ) pertencem ao plano.

Passo 2

  • Se ( 4 ,   0 ,   1 ) pertence ao plano x + y + 4 z = 0 , então 4 + 0 + 4 × 1 = 0 , só que isso não é verdade.
  • Se ( 0   4 ,   1 ) pertence ao plano x + y + 4 z = 0 , então 0 + 4 + 4 × 1 = 0 , só que isso não é verdade.
  • Se ( 4 ,   0 ,   - 1 ) pertence ao plano x + y + 4 z = 0 , então 4 + 0 + 4 × ( - 1 ) = 0 , o que de fato é verdade!
  • Se ( 0 ,   4 ,   - 1 ) pertence ao plano x + y + 4 z = 0 , então 4 + 0 + 4 × ( - 1 ) = 0 , o que de fato é verdade!

Então os vetores da letra ( a ) nem pertencem à imagem, como poderiam ser uma base para ela?

Já os vetores da letra ( c ) pertencem à imagem e são L I , então eles são uma base para essa imagem.

Então a matriz associada à transformação linear tem que ser a da letra ( c ) !

Resposta

Letra ( c )

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