Exercícios Resolvidos de Matriz que Representa uma TL

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 218. – 35

Mostrar que a matriz do operador linear identidade

Equation

Equation

em uma base qualquer, é a matriz identidade Equation .

Passo 1

Eu sei, mostrar, que saco né? Mas vamos lá:

O enunciano pediu pra mostrarmos que a matriz que representa a transformação identidade em qualquer espaço e com qualquer base, é a matriz identidade Equation .

Então nós não só não podemos definir os vetores da base, mas também não podemos definir seu tamanho.

Como a transformação vai do Equation para o Equation , a base do domínio e do contra domínio será a mesma, dada por:

Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Temos nossa base. Agora aplicamos cada vetor dessa base na transformação.

Como é a transformação identidade, ela levará cada vetor da base nele mesmo:

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Passo 3

Agora passamos cada um desses vetores para a base arbitrária Equation :

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

No entanto, como Equation é uma base de Equation , e os vetores que vamos escrever em função dela fazem todos parte dela, nenhum vetor Equation , Equation , pode ser formado como uma combinação de outros vetores da base. Logo:

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Passo 4

-

Pegamos esses vetores e jogamos nas colunas de uma matriz Equation :

Equation

E é isso aí, ta mostrado ;)

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