Exercícios Resolvidos de Matriz que Representa uma TL

Ver Teoria

Enunciado

Seja B = v 1 , v 2 uma base de R 2 . A transformação linear T está definida através de T v 1 = v 2 , T v 2 = v 1 + v 2 . Indique a matriz que representa a inversa de T na base B .

a   T - 1 B = - 1 1 0 1

b     T - 1 B = - 1 1 1 0

c     T - 1 B = 1 - 1 1 0

d     T - 1 B = 1 1 - 1 0

Passo 1

Bom, para acharmos T B basta aplicarmos a transformação nos vetores da base B e escrevermos o resultado em função dessa base também. Por sorte isso tudo já foi feito por nós haha. Agora é só jogarmos nas colunas de uma matriz:

T v 1 = v 2 = 0,1 B

T v 2 = v 1 + v 2 = 1,1 B

T B = 0 1 1 1

Passo 2

Achamos a T na base B , mas repare que ele pede a inversa! Bom, isso não é problema né, já que inverter matrizes 2 × 2 é fácil fácil:

T B = 0 1 1 1 ⇒ T - 1 B = 1 det ⁡ T B 1 - 1 - 1 0 = - 1 1 1 0

Passo 3

Alternativamente, poderíamos ter montado direto nossa matriz inversa! Temos que:

T v 1 = v 2 ⇒ T - 1 v 2 = v 1

T v 2 = v 1 + v 2 ⇒ T - 1 v 1 + v 2 = v 2 ⇒ T - 1 v 1 + T - 1 v 2 ⏟ v 1 = v 2 ⇒ T - 1 v 1 = - v 1 + v 2

Logo, temos que:

T - 1 B = - 1 1 1 0

A mesma resposta que obtemos do outro modo! Letra b .

Resposta

Letra ( b )

Exercícios de Livros Relacionados

Seja T o operador linear dado pela matriz: 1 2 - 1 2 0 1 1 - 2 2 a) Calcular N ( T ) e dim ⁡ N ( T ) . b) Calcular I m ( T ) e dim ⁡ I m ( T ) .
Seja o espaço vetorial V = M ( 2 ,2 ) e a transformação linear T : V → R 3 , T a b c d = ( a + b , c - d , 2 a ) a) Mostrar que T é linear.b) Determinar T B A sendo A e B as bases canônicas de M ( 2 ,
Consideremos as transformações lineares S e T de R 3 em R 2 definidas por S x , y , z = ( 2 x - y , 3 x - 2 y + z ) e T x , y , z = ( x + y - z , y - 2 z ) .a) Determinar o núcleo da transformação lin
As transformações S :R 2 → R 3 e T :R 3 → R 2 são tais que S x , y = ( y , x - y , 2 x + 2 y ) e T x , y , z = ( x , y ) .a) Sendo B = { 1 ,0 , - 1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,0 ,0 } uma base do R 3 , determinar a m
Sendo S e T operadores lineares do R 3 definidos por S x , y , z = ( x ,2 y , x - y ) e T x , y , z = ( x - z , y , z ) , determinar:a) [ S ∘ T ] .b) [ T ∘ S ] .