Exercícios Resolvidos de Matriz que Representa uma TL

UFRJ, Álgebra Linear, P2 - 2013.2, Questão 04

Seja Equation uma transformação linear tal que Equation , Equation e Equation e seja Equation a matriz associada a Equation . A inversa de Equation é a matriz:

Equation

Equation

Equation

Equation

Passo 1

Esse é o tipo de questão que vale a pena analisar um pouco antes de sair pra solução mecânica. Você poderia encontrar a matriz Equation e depois calcular sua inversa na marra, mas percebe que isso demoraria muuuito tempo? Sempre que perceber que vai levar muito tempo numa questão desconfie de que há um jeito mais fácil! Os professores sabem que a prova tem muitas questões e que não podem exagerar (mesmo que de vez em quando apareça uma questão longa)!

Ta, mas qual o macete aqui? O macete é se esquecer da matriz por enquanto e trabalhar com a inversa da nossa transformação! Sabemos o seguinte:

Equation

Equation

Equation

Logo, nossa Equation tem que fazer o caminho oposto de Equation , ou seja:

Equation

Equation

Equation

Opa, olha que beleza! Achar a matriz que representa uma Equation é fácil se sabemos os valores dela aplicada na base canônica do domínio né? É só jogar nas colunas de uma matriz! Só tem que tomar cuidado com a ordem. Vamos ajeitar:

Equation

Equation

Equation

Agora jogamos nas colunas da matriz:

Equation

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Resposta

Letra Equation

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