Exercícios Resolvidos de Matriz que Representa uma TL

Ver Teoria

Enunciado

Seja T : R 2 → R 2 uma transformação linear que leva o vetor ( 1,2 ) em ( 7,14 ) e o vetor ( - 2 , - 3 ) em - 2 7 , - 3 7 . Seja A a matriz de T na base canônica. A soma dos elementos da primeira linha de A é:

(a) - 54 7

(b)   - 33 7

(c)   - 40 7

(d)   - 47 7

Passo 1

A matriz da transformação linear T   na base canônica vai ter a seguinte forma:

A = ↑ ↑ T ( 1,0 ) T ( 0,1 ) ↓ ↓

Como { 1,2 , - 2 , - 3 } forma uma base do domínio e temos as imagens dos respectivos vetores, conseguimos achar essa matriz!

Passo 2

Vou achar primeiramente T ( 1,0 ) :

1,0 = a 1,2 + b - 2 , - 3

T 1,0 = a T 1,2 + b T - 2 , - 3

T 1,0 = a 7,14 + b - 2 7 , - 3 7

Precisamos apenas de a   e b , que vou achar resolvendo   1,0 = a 1,2 + b - 2 , - 3 :

1 = a - 2 b 0 = 2 a - 3 b

Assim, achamos a = - 3   e b = - 2 . Aí é só substituir para achar T ( 1,0 ) :

T 1,0 = - 3 7,14 - 2 - 2 7 , - 3 7

T 1,0 = - 143 7 , - 78 7

Agora vamos fazer o mesmo para T 0,1 :

0,1 = a 1,2 + b ( - 2 , - 3 )

T 0,1 = a T 1,2 + b T - 2 , - 3

T 0,1 = a 7,14 + b - 2 7 , - 3 7

Vamos achar a e b com   0,1 = a 1,2 + b - 2 , - 3 :

0 = a - 2 b 1 = 2 a - 3 b

a = 2           b = 1

Substituindo para encontrarmos T 0,1 :

T 0,1 = 2 7,14 + 1 - 2 7 , - 3 7

T 0,1 = 96 7 , 193 7

A = - 143 7 96 7 - 78 7 193 7

Ele só quer a soma dos elementos da primeira linha então:

- 143 7 + 96 7 = - 47 7

Resposta

(d)

Exercícios de Livros Relacionados

Seja T o operador linear dado pela matriz: 1 2 - 1 2 0 1 1 - 2 2 a) Calcular N ( T ) e dim ⁡ N ( T ) . b) Calcular I m ( T ) e dim ⁡ I m ( T ) .
Seja o espaço vetorial V = M ( 2 ,2 ) e a transformação linear T : V → R 3 , T a b c d = ( a + b , c - d , 2 a ) a) Mostrar que T é linear.b) Determinar T B A sendo A e B as bases canônicas de M ( 2 ,
Consideremos as transformações lineares S e T de R 3 em R 2 definidas por S x , y , z = ( 2 x - y , 3 x - 2 y + z ) e T x , y , z = ( x + y - z , y - 2 z ) .a) Determinar o núcleo da transformação lin
As transformações S :R 2 → R 3 e T :R 3 → R 2 são tais que S x , y = ( y , x - y , 2 x + 2 y ) e T x , y , z = ( x , y ) .a) Sendo B = { 1 ,0 , - 1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,0 ,0 } uma base do R 3 , determinar a m
Sendo S e T operadores lineares do R 3 definidos por S x , y , z = ( x ,2 y , x - y ) e T x , y , z = ( x - z , y , z ) , determinar:a) [ S ∘ T ] .b) [ T ∘ S ] .