Exercícios Resolvidos de Matriz que Representa uma TL

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Enunciado

Sejam B e U as bases de R 2 dadas por B = 2 , - 3 , - 1,1 , U = - 1,2 , 1 , - 3 , e seja T : R 2 → R 2 a transformação linear tal que T U B = 1 0 - 1 2 .

a Dado x , y ∈ R 2 , determine T x , y .

Passo 1

a Primeiro temos que nos lembrar como T U B é formada:

Temos então que:

T U B = ↑ ↑ T 2 , - 3 U T - 1,1 U ↓ ↓

Logo:

T 2 , - 3 U = 1 , - 1

T 2 , - 3 = 1 ∙ - 1,2 - 1 ∙ 1 , - 3 = - 2,5

T - 1,1 U = 0,2

T 1 , - 1 = 0 ∙ - 1,2 + 2 ∙ 1 , - 3 = 2 , - 6

Passo 2

Agora temos que usar aquele método pra encontrar a expressão da nossa T L :

x , y = a 2 , - 3 + b - 1,1

2 a - b = x - 3 a + b = y       I I I

Fazendo I + I I :

- a = x + y

a = - x - y

Substituindo em I :

2 a - b = x

- 2 x - 2 y - b = x

b = - 3 x - 2 y

Passo 3

Agora aplicamos a transformação nos dois lados:

x , y = a 2 , - 3 + b 1 , - 1

T x , y = T a 2 , - 3 + b 1 , - 1

T x , y = a T 2 , - 3 + b T 1 , - 1

T x , y = a - 2,5 + b 2 , - 6

Substituindo a e b :

T x , y = - x - y - 2,5 + - 3 x - 2 y 2 , - 6

T x , y = 2 x + 2 y - 6 x - 4 y , - 5 x - 5 y + 18 x + 12 y

T x , y = - 4 x - 2 y , 13 x + 7 y

Resposta

a   T x , y = - 4 x - 2 y , 13 x + 7 y

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