Exercícios Resolvidos de Matriz que Representa uma TL

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Enunciado

Sejam ϵ a base canônica de R 2 e β = 1,2 , 1,3 . Considere a transformação linear Q : R 2 → R 2 tal que a matriz de Q com relação à base β é dada por Q β = 1 1 1 1 . Se v → = 1,1 , então Q v → ϵ é igual a:

( a )   1,1 T  

( b )   2,2 T  

( c )   14 , - 7 T  

d   2,5 T

Passo 1

Seguinte, vamos passar o vetor v → para a base β :

1,1 = a 1,2 + b 1,3

a + b = 1 2 a + 3 b = 1       I I I

Fazendo I I - 2 I :

b = - 1

Substituindo em I :

a - 1 = 1

a = 2

Logo,

v → β = 2 , - 1

Se aplicarmos esse vetor em Q β , teremos:

Q β v → β = Q v → β

1 1 1 1 2 - 1 = 1 1

Passo 2

Agora é só passarmos esse vetor para a base canônica! A matriz de mudança de base de uma base qualquer para a canônica é obtida pegando os vetores da base e jogando nas colunas de uma matriz. Então:

β = 1,2 , 1,3

I ϵ ← β = 1 1 2 3

Q v → ϵ = I ϵ ← β Q v → β = 1 1 2 3 1 1 = 2 5

Resposta

Letra ( d )

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