Exercícios Resolvidos de Matriz que Representa uma TL

PUCRIO, Álgebra Linear I - MAT1200, P2 - 2018.1, Questão 1abcd

Sejam Equation e Equation . Considere o conjunto Equation .

(a) Mostre que Equation é base do Equation .

(b) Determine Equation e Equation .

(c) Determine Equation para Equation .

(d) A projeção (não necessariamente ortogonal) de um vetor w sobre um vetor v, na direção de um vetor u, é o vetor w’ que tem a direção de v e tal que w-w’ tem a direção de u, como a figura abaixo.

Encontre a matriz da transformação linear que é a projeção de (x,y) sobre Equation na direção de Equation .

Passo 1

(a) Pra ser base, o conjunto deve ser capaz de gerar todo o espaço e ser LI.

A dimensão de Equation é 2, então com no mínimo dois vetores conseguimos gerar esse espaço.

Agora precisamos mostrar que Equation e Equation são LI.

Como só temos dois vetores, para eles serem LI basta que um não seja múltiplo do outro.

Vemos que Equation e Equation não são múltiplos, logo não são combinação linear um do outro e o conjunto Equation é LI.

Então, Equation é base de Equation .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(b) Para escrever um vetor em uma base, precisamos encontrar as coordenadas dele nessa base.

Então, para o vetor (1,0) na base Equation , vamos precisar achar os valores de a e b tais que:

Equation

Equation

Vamos ficar com o sistema:

Equation

Pela segunda equação:

Equation

Substituindo na primeira:

Equation

Equation

Equation

Então:

Equation

E o vetor (1,0) na base Equation vai ser:

Equation

Fazendo a mesma coisa pro vetor (0,1), queremos encontrar c e d tais que:

Equation

Equation

Temos o sistema:

Equation

Pela primeira equação:

Equation

Substituindo na segunda:

Equation

Equation

Equation

Logo:

Equation

E o vetor (0,1) na base Equation vai ser:

Equation

Passo 3

(c) No item (b), vimos que:

Equation

Equation

No primeiro caso, temos a primeira coluna da matriz de mudança de base de Equation para a base canônica Equation do Equation .

No segundo, temos a segunda coluna dessa matriz.

Ela vai ser então:

Equation

Aplicando A a um vetor (x,y) qualquer do Equation , vamos ter:

Equation

Logo:

Equation

Passo 4

(d) A projeção definida no enunciado faz com que os vetores que estão na direção de Equation permaneçam iguais, enquanto os que estão na direção de Equation sejam zerados.

Logo, queremos encontrar uma matriz P para essa transformação tal que:

Equation

Equation

A primeira coluna dessa matriz P pode ser encontrada se aplicarmos o vetor (1,0) a ela.

Vimos antes, na letra (b), que o vetor (1,0) pode ser escrito como:

Equation

Aplicando P nos dois lados:

Equation

Como a transformação é linear, podemos fazer:

Equation

Como definimos P(2,1)=(2,1) e P(1,-3)=(0,0):

Equation

Essa é a primeira coluna de P!

Agora, pra achar a segunda coluna de P, aplicamos o vetor (0,1) a essa matriz.

Vimos também na letra (b) que o vetor (0,1) pode ser escrito como:

Equation

Aplicando P dos dois lados:

Equation

Como a transformação é linear, podemos fazer:

Equation

Usando o que definimos antes:

Equation

Acabamos de achar a segunda coluna de P!

Então, a matriz P vai ser:

Equation

Resposta

(b) Equation Equation

Equation

(c) Equation Equation

(d) Equation Equation

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