Exercícios Resolvidos de Matriz que Representa uma TL

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Enunciado

Sejam u 1 = ( 2,1 ) e u 2 = ( 1 , - 3 ) . Considere o conjunto β = { u 1 , u 2 } .

(a) Mostre que β é base do R 2 .

(b) Determine [ 1,0 ] β e [ 0,1 ] β .

(c) Determine [ x , y ] β para ( x , y ) ∈ R 2 .

(d) A projeção (não necessariamente ortogonal) de um vetor w sobre um vetor v, na direção de um vetor u, é o vetor w’ que tem a direção de v e tal que w-w’ tem a direção de u, como a figura abaixo.

Encontre a matriz da transformação linear que é a projeção de (x,y) sobre u 1 na direção de u 2 .

Passo 1

(a) Pra ser base, o conjunto deve ser capaz de gerar todo o espaço e ser LI.

A dimensão de R 2 é 2, então com no mínimo dois vetores conseguimos gerar esse espaço.

Agora precisamos mostrar que u 1 e u 2 são LI.

Como só temos dois vetores, para eles serem LI basta que um não seja múltiplo do outro.

Vemos que u 1 = ( 2,1 ) e u 2 = ( 1 , - 3 ) não são múltiplos, logo não são combinação linear um do outro e o conjunto β = { u 1 , u 2 } é LI.

Então, β é base de R 2 .

Passo 2

(b) Para escrever um vetor em uma base, precisamos encontrar as coordenadas dele nessa base.

Então, para o vetor (1,0) na base β , vamos precisar achar os valores de a e b tais que:

a 2,1 + b 1 , - 3 = 1,0

2 a + b , a - 3 b = 1,0

Vamos ficar com o sistema:

2 a + b = 1 a - 3 b = 0

Pela segunda equação:

a = 3 b

Substituindo na primeira:

2 a + b = 1

2 3 b + b = 1

b = 1 7

Então:

a = 3 7

E o vetor (1,0) na base β vai ser:

1,0 β = 3 7 , 1 7

Fazendo a mesma coisa pro vetor (0,1), queremos encontrar c e d tais que:

c 2,1 + d 1 , - 3 = 0,1

2 c + d , c - 3 d = 0,1

Temos o sistema:

2 c + d = 0 c - 3 d = 1

Pela primeira equação:

d = - 2 c

Substituindo na segunda:

c - 3 - 2 c = 1

7 c = 1

c = 1 7

Logo:

d = - 2 7

E o vetor (0,1) na base β vai ser:

0,1 β = 1 7 , - 2 7

Passo 3

(c) No item (b), vimos que:

1,0 β = 3 7 , 1 7

0,1 β = 1 7 , - 2 7

No primeiro caso, temos a primeira coluna da matriz de mudança de base de β para a base canônica ε = { 1,0 , 0,1 } do R 2 .

No segundo, temos a segunda coluna dessa matriz.

Ela vai ser então:

A = 3 7 1 7 1 7 - 2 7 = 1 7 3 1 1 - 2

Aplicando A a um vetor (x,y) qualquer do R 2 , vamos ter:

1 7 3 1 1 - 2 x y = 1 7 3 x + y x - 2 y

Logo:

[ x , y ] β = 1 7 3 x + y x - 2 y

Passo 4

(d) A projeção definida no enunciado faz com que os vetores que estão na direção de u 1 = ( 2,1 ) permaneçam iguais, enquanto os que estão na direção de u 2 = ( 1 , - 3 ) sejam zerados.

Logo, queremos encontrar uma matriz P para essa transformação tal que:

P ( u 1 ) = u 1   ⇒ P 2 1 = 2 1

P ( u 2 ) = 0   ⇒ P 1 - 3 = 0 0

A primeira coluna dessa matriz P pode ser encontrada se aplicarmos o vetor (1,0) a ela.

Vimos antes, na letra (b), que o vetor (1,0) pode ser escrito como:

1,0 = 3 7 2,1 + 1 7 1 , - 3

Aplicando P nos dois lados:

P 1,0 = P 3 7 2,1 + 1 7 1 , - 3

Como a transformação é linear, podemos fazer:

P 1,0 = 3 7 P 2,1 + 1 7 [ P 1 , - 3 ]

Como definimos P(2,1)=(2,1) e P(1,-3)=(0,0):

P 1,0 = 3 7 2,1 = 6 7 , 3 7

Essa é a primeira coluna de P!

Agora, pra achar a segunda coluna de P, aplicamos o vetor (0,1) a essa matriz.

Vimos também na letra (b) que o vetor (0,1) pode ser escrito como:

0,1 = 1 7 2,1 - 2 7 1 , - 3

Aplicando P dos dois lados:

P 0,1 = P 1 7 2,1 - 2 7 1 , - 3

Como a transformação é linear, podemos fazer:

P 0,1 = 1 7 P 2,1 - 2 7 P 1 , - 3

Usando o que definimos antes:

P 0,1 = 1 7 2,1 = 2 7 , 1 7

Acabamos de achar a segunda coluna de P!

Então, a matriz P vai ser:

P = 6 7 2 7 3 7 1 7 = 1 7 6 2 3 1

Resposta

(b) 1,0 β = 3 7 , 1 7

0,1 β = 1 7 , - 2 7

(c) [ x , y ] β = 1 7 3 x + y x - 2 y

(d) P = 1 7 6 2 3 1

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