Exercícios Resolvidos de Matriz que Representa uma TL

PUCRIO, Álgebra Linear I - MAT1200, P2 - 2017.2, Questão 1

Sejam Equation vetores em Equation

a)Seja Equation a matriz cujas linhas são os vetores Equation e Equation , ou seja,

Equation

Encontre a matriz escalonada reduzida de Equation

b)Considere Equation

(b.1) Mostre que Equation é um subespaço vetorial de Equation

(b.2) Determine uma base para Equation

c)Seja Equation a transformação linear (ou matricial) dada por

Equation

(c.1) Determine a Equation que representa a transformação Equation

(c.2) Determine o posto e a nulidade de Equation

(c.3) Determine uma base do espaço coluna de Equation

Passo 1

a)

Beleza é só escalonar totalmente essa matriz:

Equation

Pronto, está na forma escalonada, mas vamos continuar:

Equation

Multiplicando a segunda linha por Equation conseguimos tranformar todos os pivôs em 1 e então temos a matriz na forma reduzida:

Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b.1)

Queremos mostrar que Equation é um subespaço vetorial do Equation .

Um subespaço do Equation vai ser um conjunto não vazio, fechado para a soma e multiplicação por escalar e que contém o vetor nulo, vamos testar isso aí:

Bom, primeiramente, Equation , já que o produto interno dele com qualquer vetor vai ser igual a 0. Com isso, já confirmamos o fato de que Equation é de fato um conjunto não vazio.

Vamos testar agora, se esse conjunto é fechado para a soma, usando Equation e Equation pertencentes a Equation De acordo com a expressão dos vetores de Equation temos que o produto interno deles com Equation e Equation vai ser igual a zero:

Equation

Equation

Queremos saber se Equation , se isso for verdade, Equation , logo, é fechado para a soma:

Equation

É fechado para a soma!

Agora, vamos testar a multiplicação por escalar, vamos testar se Equation .

Equation

Confirmamos que Equation é sim fechado para a multiplicação por escalar!

Pronto, provamos que Equation é um subespaço vetorial de Equation .

Passo 3

b.2)

Vamos determinar uma base para esse espaço primeiramente pegando um vetor genérico do Equation , Equation

Equation

Equation

Equation

Fazendo esses produtos internos, chegamos a um sistema de equações:

Equation

Vamos passar para a forma matricial e escalonar:

Equation

Opaa, é a mesma matriz que já escalonamos na letra a)! Mesmo que tenha uma coluna a mais, por ser só formada por zeros, não vai alterar a matriz reduzida.

Assim, vamos pegar aquela reduzida matriz e voltar para as equações para achar os valores de Equation .

Equation

Assim, tenho que Equation , então:

Equation

Esse vetor aí gera Equation , então, uma base desse espaço é:

Equation

Passo 4

c.1)

Queremos, agora, a matriz que representa a transformação Equation

Vou substituir os vetores Equation e Equation

Equation

Equation

Pronto, reorganizei a expressão pra ficar de uma forma mais familiar pra gente!

Agora é facil passar achar a matriz que representa a equação, botando tudo que multiplica Equation na primeira coluna, tudo que multiplica Equation na segunda, Equation na terceira e Equation na quarta!

Equation

Passo 5

c.2)

Vamos achar o núcleo e a nulidade da matriz!

Mas pera, antes de fazer todo aquele monte de contas, vamos pensar numa coisinha, a matriz Equation é igual a matriz Equation , certo?

Agora olha o que fizemos nas letras anteriores, na letra b.2), nos calculamos Equation que vai ser igual a Equation que é exatamente o núcleo da matriz!

Vou simplesmente pegar o resultado que achei ali em cima: Equation . Como só tem 1 vetor na base, a dimensão vai ser igual a 1:

Equation

Passo 6

c.3)

Por último, vamos achar uma base para o espaço coluna, ou imagem de Equation

Podemos transpor a matriz e escalonar, mas tem um jeito mais simples de achar essa base, utilizando o teorema núcleo imagem:

Equation

Equation

Como os vetores das colunas são pertencentes ao Equation . A imagem vai ter que ser o próprio Equation para ter essa dimensão! Assim, podemos pegar qualquer base desse espaço (3 vetores de 3 coordenadas que formam um conjunto Equation , como a canônica:

Equation

Resposta

a) Equation

b.2) Equation

c.1) Equation

c.2) Equation

c.3) Equation

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