Exercícios Resolvidos de Matriz que Representa uma TL

PUCRIO, Álgebra Linear I - MAT1200, P4 - 2017.1, Questão 3

Sejam os vetores Equation e Equation Considere a transformação Equation , dada por Equation

(a) Calcule Equation

(b) Mostre que Equation é uma transformação linear.

(c) Determine uma base de Equation

(d) Determine uma base de Equation

Equation (e) Determine a matriz canônica de Equation , ou seja, a matriz Equation e Equation . (O mesmo que Equation , ou ainda, Equation )

Passo 1

a)Quero achar Equation , sabendo que Equation , Equation e Equation . Então:

Equation

Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b)Para Equation ser transformação linear preciso que:

Equation

Equation

Sendo Equation e Equation :

Equation

Agora vamos achar essas transformações:

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Agora vamos igualar:

Equation

Conseguimos ver que é igual!

Passo 3

Agora vamos ver a segunda:

Equation

Sendo Equation

Equation

Equation

Equation

Já achamos Equation no passo 3, aí é só multiplicar por Equation

Equation

Equation

Igualando:

Equation

Também foi satisfeito, conseguimos então, provar que é um transformação linear!

Passo 4

c) Agora vamos achar o núcleo de Equation :

Equation

Equation

Sendo Equation

Equation

Equation

Como as equações são múltiplas uma da outra, são redundantes e não precisamos das duas para achar as informações que queremos sobre o núcleo, logo:

Equation

Equation

Equation

Como esses vetores formam um conjunto Equation , dizemos que eles são uma base do núcleo:

Equation

Passo 5

d) Agora a imagem, sendo Equation

Equation

Vamos desmembrar a fórmula da Equation

Equation

Todos esses vetores são múltiplos um dos outros, a base da imagem vai ser:

Equation

Passo 6

e)A matriz de Equation na base canônica pode ser obtida simplesmente botando aquilo que multiplica Equation na primeira coluna, que multiplica Equation na segunda e que multiplica Equation na terceira:

Equation

Equation

Resposta

a) Equation

c) Equation

d) Equation

e) Equation

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