Exercícios Resolvidos de Matriz que Representa uma TL

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Enunciado

Sejam os vetores w 1   =   ( 1 ,   2 ,   - 3 ) e w 2   =   ( 2 ,   4 ,   - 6 ) . Considere a transformação T   : R 3   → R 2 , dada por T ( v )   =   ( v · w 1 ,   v · w 2 ) .

(a) Calcule T ( - 1 ,   1 ,   1 ) .

(b) Mostre que T é uma transformação linear.

(c) Determine uma base de N u c ( T ) .

(d) Determine uma base de I m ( T ) .

(e) Determine a matriz canônica de T , ou seja, a matriz T ε = { 1,0 , 0 , 0,1 , 0 , 0,0 , 1 } e ε ' = { 1,0 , 0,1 } . (O mesmo que T ε ' , ε , ou ainda, T ε → ε ' . )

Passo 1

a)Quero achar T ( - 1 ,   1 ,   1 ) , sabendo que T ( v )   =   ( v · w 1 ,   v · w 2 ) , w 1   =   ( 1 ,   2 ,   - 3 ) e w 2   =   ( 2 ,   4 ,   - 6 ) . Então:

T - 1 ,   1 ,   1 = ( - 1 ,   1 ,   1 · ( 1 ,   2 ,   - 3 ) ,   - 1 ,   1 ,   1 · ( 2 ,   4 ,   - 6 ) )

T - 1 ,   1 ,   1 = ( - 2 , - 4 )

Passo 2

b)Para T ser transformação linear preciso que:

T u + v = T u + T ( v )

T λ u = λ T ( u )

Sendo u = ( a , b , c ) e v = ( d , e , f ) :

T ( a , b , c + d , e , f ) = T a , b , c + T ( d , e , f )

Agora vamos achar essas transformações:

T a , b , c + d , e , f = T ( a + d , b + e , c + f )

T a + d , b + e , c + f = ( ( a + d , b + e , c + f ) · ( 1 ,   2 ,   - 3 ) ,   ( a + d , b + e , c + f ) · ( 2 ,   4 ,   - 6 ) )

T a + d , b + e , c + f = ( a + d + 2 b + 2 e - 3 c - 3 f , 2 a + 2 d + 4 b + 4 e - 6 c - 6 f )

T a , b , c = ( ( a , b , c ) · ( 1 ,   2 ,   - 3 ) ,   ( a , b , c ) · ( 2 ,   4 ,   - 6 ) )

T a , b , c = ( a + 2 b - 3 c , 2 a + 4 b - 6 c )

T d , e , f = ( ( d , e , f ) · ( 1 ,   2 ,   - 3 ) ,   ( d , e , f ) · ( 2 ,   4 ,   - 6 ) )

T d , e , f = ( d + 2 e - 3 f , 2 d + 4 e - 6 f )

Agora vamos igualar:

a + d + 2 b + 2 e - 3 c - 3 f , 2 a + 2 d + 4 b + 4 e - 6 c - 6 f = a + 2 b - 3 c , 2 a + 4 b - 6 c + ( d + 2 e - 3 f , 2 d + 4 e - 6 f )

Conseguimos ver que é igual!

Passo 3

Agora vamos ver a segunda:

T λ u = λ T ( u )

Sendo u = a , b , c :

T λ a , b , c = T λ a , λ b , λ c

T λ a , λ b , λ c = ( ( λ a , λ b , λ c ) · ( 1 ,   2 ,   - 3 ) ,   ( λ a , λ b , λ c ) · ( 2 ,   4 ,   - 6 ) )

T λ a , λ b , λ c = ( λ a + 2 λ b - 3 λ c ,   2 λ a + 4 λ b - 6 λ c )

Já achamos T ( u ) no passo 3, aí é só multiplicar por λ :

λ T a , b , c = λ ( a + 2 b - 3 c , 2 a + 4 b - 6 c )

λ T a , b , c = ( λ a + 2 λ b - 3 λ c , 2 λ a + 4 λ b - 6 λ c )

Igualando:

λ a + 2 λ b - 3 λ c ,   2 λ a + 4 λ b - 6 λ c = ( λ a + 2 λ b - 3 λ c , 2 λ a + 4 λ b - 6 λ c )

Também foi satisfeito, conseguimos então, provar que é um transformação linear!

Passo 4

c) Agora vamos achar o núcleo de T :

T v =   v · w 1 ,   v · w 2 = ( 0,0 )

T x , y , z = x + 2 y - 3 z , 2 x + 4 y - 6 z = 0,0

Sendo v = x , y , z :

T x , y , z =   ( x , y , z ) · ( 1 ,   2 ,   - 3 ) ,   ( x , y , z ) · ( 2 ,   4 ,   - 6 ) = 0,0

x + 2 y - 3 z = 0 2 x + 4 y - 6 z = 0

Como as equações são múltiplas uma da outra, são redundantes e não precisamos das duas para achar as informações que queremos sobre o núcleo, logo:

x + 2 y - 3 z = 0

x = - 2 y + 3 z

x , y , z = - 2 y + 3 z , y , z = y - 2,1 , 0 + z ( 3,0 , 1 )

Como esses vetores formam um conjunto L I , dizemos que eles são uma base do núcleo:

α = - 2,1 , 0 , ( 3,0 , 1 )

Passo 5

d) Agora a imagem, sendo v = x , y , z :

T x , y , z =   ( x , y , z ) · ( 1 ,   2 ,   - 3 ) ,   ( x , y , z ) · ( 2 ,   4 ,   - 6 ) = x + 2 y - 3 z , 2 x + 4 y - 6 z

Vamos desmembrar a fórmula da T L :

x + 2 y - 3 z , 2 x + 4 y - 6 z = x 1,2 + y 2,4 + z ( - 3 , - 6 )

Todos esses vetores são múltiplos um dos outros, a base da imagem vai ser:

β = ( 1,2 )

Passo 6

e)A matriz de T na base canônica pode ser obtida simplesmente botando aquilo que multiplica x na primeira coluna, que multiplica y na segunda e que multiplica z na terceira:

T x , y , z = x + 2 y - 3 z , 2 x + 4 y - 6 z

T ε = 1 2 - 3 2 4 - 6

Resposta

a) ( - 2 , - 4 )

c)   α = - 2,1 , 0 , ( 3,0 , 1 )

d)   β = ( 1,2 )

e)   T ε = 1 2 - 3 2 4 - 6

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