Exercícios Resolvidos de Partícula na Caixa Unidimensional

Partícula em um Poço de Potencial

Considere uma caixa quântica, também chamada de poço de potencial infinito, unidimensional, onde a função energia potencial é muito grande (infinita) nos ponto x = 0 e x = L , é nula para x < 0 (região I ), nula para 0 < x < L (região I I ), e novamente nula para x > L (região I I I ) .

Para um objeto quântico dentro da caixa, teremos uma possível função de onda dada por (obs: A ,   B e C são constantes):

a ) ψ I = 0 ; ψ I I = A e i k x ; ψ I I I = 0

b ) ψ I = 0 ; ψ I I = A c o s k x ; ψ I I I = 0

c ) ψ I = 0 ; ψ I I = A s e n k x ; ψ I I I = 0

d ) ψ I = B e k x ; ψ I I = A c o s k x ; ψ I I I = C e - k x

e ) ψ I = B e k x ; ψ I I = A s e n k x ; ψ I I I = C e - k x

f ) Nenhuma das anteriores

Passo 1

Essa questão pode parecer complicada, mas vem comigo que eu te ajudo.

Pra começar, nos pontos x = 0 e x = L nós temos um potencial infinito V x = 0 → ∞ e V x = L → ∞ . Isso força com que, pelo menos nesses pontos, a função de onda seja zero.

ψ x = 0 = 0

ψ x = L = 0

Pela continuidade da função de onda, necessariamente teremos:

ψ I x = 0 = ψ I I x = 0 = 0

ψ I I x = L = ψ I I I x = L = 0

Assim, como dizemos que o objeto quântico está dentro da caixa quântica, então podemos considerar que ele não tem como sair pelo potencial infinito.

É como se, ao tentar tunelar por elas, a probabilidade dele conseguir vá diminuindo com o aumento do potencial, até que em certo ponto a probabilidade é zero. Logo:

ψ I = ψ I I I = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Já na região 0 < x < L a partícula se comporta como dentro de um poço de potencial infinito. Assim, a função de onda ψ I I é encontrada resolvendo a equação de Shrödinger independente do tempo, dada por

- ℏ 2 2 m d 2 ψ x d x 2 + U x ψ x = E ψ ( x )

Para as seguintes condições de contorno:

U x = ∞                 x < 0 0     0 < x < L ∞                 x > L

Assim, resolveremos a equação para as seguintes condições de contorno:

ψ x = 0 para x = 0 e x = L

Passo 3

No interior da caixa, teremos U x = 0 , logo:

- ℏ 2 2 m d 2 ψ x d x 2 = E ψ ( x )

d 2 ψ x d x 2 = - k 2   ψ x

Onde:

k 2 = 2 m E ℏ 2

Essa equação diferencial tem solução do tipo:

ψ x = A sen ⁡ k x + A ' cos ⁡ k x

Aplicando a condição de contorno ψ 0 = 0 , a função de onda na região I I será dada por:

ψ I I = A s e n k x

Assim, a resposta certa é a letra c .

Resposta

c ) ψ I = 0 ; ψ I I = A s e n k x ; ψ I I I = 0

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