Exercícios Resolvidos de Partícula na Caixa Unidimensional

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Enunciado

Uma partícula se encontra dentro de uma caixa unidimensional de tamanho L 2 e possui energia 2 h 2 m L 2 . Determine o estado estacionário ocupado pela partícula.

a) Estado fundamental.

b) Primeiro estado excitado.

c) Segundo estado excitado.

d) Terceiro estado excitado.

e) Quarto estado excitado.

Passo 1

Sabemos que para um estado qualquer numa caixa unidimensional, uma partícula possui energia:

E n = n 2 h 2 8 m L 2

Fazendo L = L 2 , temos:

E n = n 2 h 2 8 m L 2 2

E n = n 2 h 2 8 m L 4 2

E n = n 2 h 2 2 m L 2

Passo 2

A ideia agora é comparar a energia dada pelo enunciado com a energia encontrada acima:

E n = 2 h 2 m L 2                                   E n = n 2 h 2 2 m L 2        

Arrumando melhor essas duas equações, temos:

E n = 2 h 2 m L 2                                   E n = n 2 2 h 2 m L 2  

Ficou mais fácil de visualizar? O que está dentro do parênteses é igual para as duas equações. Então precisamos pensar: “O que falta na segunda equação para ficar totalmente igual a primeira?”. Ou também: “Que número tenho que colocar no n para que a segunda equação fique igual a primeira?”.

Pensando dessa forma, o n deve ser igual a 2 , pois:

E 2 = 2 2 2 h 2 m L 2

E 2 = 4 2 h 2 m L 2

E 2 = 2 h 2 m L 2

E chegamos exatamente na energia dada pelo enunciado. Com isso o estado estacionário da partícula deve ser n = 2 , que corresponde ao primeiro estado excitado.

Resposta

Letra (b) Primeiro estado excitado.

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