Exercícios Resolvidos de Partícula na Caixa Unidimensional

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Enunciado

a) Ao incidir luz sobre um determinado metal, elétrons são arrancados de sua superfície com uma energia cinética máxima igual ao dobro de sua função trabalho. Sabendo que a frequência de corte para esse metal é 1,21 ⋅ 10 15   H z , qual é o comprimento de onda da luz incidente?

b) Um átomo de Hidrogênio em seu estado de energia mais baixo absorver um fóton com comprimento de onda igual a 97,25   n m . Qual é o raio da órbita do elétron no estado final?

c) Um elétron, confinado em um poço de potencial infinito entre as posições 0 e 1,0   n m , tem energia igual a 1,506   e V . Escreva a função de onda ψ x associada a esse elétron.

Passo 1

Eai galerinha, prontos para resolver uma questão de física 4?

O item (a) é sobre efeito fotoelétrico. Quando incidimos luz sobre um metal ele pode ejetar elétrons. A energia com que esses elétrons são ejetados é

K = h f - W ,

onde W é a função trabalho do metal. A frequência f C correspondente a energia cinética nula é chamada de frequência de corte:

0 = h f C - W → W = h f C

Essa é a frequência mínima da radiação para que o efeito fotoelétrico possa ocorrer! Portanto,

W = h f C = 4,41 ⋅ 10 - 15   e V   s ⋅ 1,21 ⋅ 10 15   H z = 5   e V

O exercício disse que a energia cinética com que os elétrons saem do metal é igual ao dobro da função trabalho, de modo que

2 W = h f - W → h f = 3 W

Como f = c / λ , temos que

h c λ = 3 W → λ = h c 3 W

Usando h c = 1240   e V   n m ,

λ = 1240   e V   n m 3 ⋅ 5   e V → λ = 82,7   n m

Passo 2

No item (b) vamos brincar com o átomo de Hidrogênio. Sabemos que o espectro de energia é dado por

E n = - 13,6 n 2   e V

Inicialmente a elétron está no estado fundamental com n = 1 , de modo que

E i n i c i a l = - 13,6 1 2 = - 13,6   e V

Daí, um fóton com comprimento de onda λ = 97,25   n m é absorvido. A energia desse fóton é

h f = h c λ = 1240   e V   n m 97,25   n m = 12,75   e V

Com isso, a energia do elétron após absorver esse elétron será

E f i n a l = E i n i c i a l + h f = - 13,6   e V + 12,75   e V = - 0,85   e V

Qual nível de energia isso corresponde?

- 0,85 = - 13,6 n 2 → n 2 = 13,6 0,85 = 16

Portanto,

n = 4

Vemos então que, após absorver o fóton, o elétron salta da órbita com n = 1 para a órbita com n = 4 . Para achar o raio, usamos

r n = n 2 a 0 ,

onde a 0 = 0,0529   n m é o raio de Bohr do estado fundamental. Portanto,

r 4 = 16 ⋅ 0,0529 → r = 0,8464   n m

Esse é o raio da órbita para o elétron após absorver o fóton!

Passo 3

Agora vamos para o item (c)!

Nesse problema temos um poço quadrado infinito de largura L = 1,0   n m . A função de onda e as possíveis energias desse sistema são dadas por

ψ x = 2 L   s e n   n π x L ,                   E n = n 2 π 2 ℏ 2 2 m L 2 = n 2 h 2 8 m L 2

Esses dados foram dados no formulário da prova, mas é importante você saber como se chega neles. Então se você não lembra como faz isso, dá uma olhada nos resumos do RespondeAí!

Temos que achar o valor de n correspondente a energia E = 1,506   e V :

n 2 = 8 m L 2 E h 2 = 8 m c 2   L 2   E h c 2

Vamos usar h c = 1240   e V   n m e m c 2 = 511 ⋅ 10 3   e V :

n 2 = 8 ⋅ 511 ⋅ 10 3   e V ⋅ 1,0 2   n m 2 ⋅ 1,506   e V 1240 2   e V 2   n m 2 = 8 ⋅ 511 ⋅ 1506 1240 2 = 4

Portanto,

n = 2

Assim, a função de onda fica

ψ x = 2 L   s e n   2 π x L ,               L = 1,0   n m

A seguir faço um esboço dessa função de onda:

E com isso fechamos o problema 😊!

Resposta

λ = 82,7   n m

r = 0,8464   n m

ψ x = 2 L   s e n   2 π x L ,               L = 1,0   n m

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