Exercícios Resolvidos de Partícula na Caixa Unidimensional

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Enunciado

Seja uma partícula de massa m confinada em uma região entre - a / 2 e + a / 2 no eixo x .

a) Por substituição direta na equação de Schrodinger, mostre que a função de onda ψ x = 2 a cos ⁡   3 π x a é uma solução possível para o estado dessa partícula e encontre o valor de sua energia.

b) A função de onda ψ ' x = 2 a s e n   3 π x a também é solução? Explique.

c) Se é sabido que a partícula se encontra em seu quinto estado de energia, esboce, em função de x , a probabilidade P x de encontrar a partícula em uma posição x qualquer.

d) Seja o caso dessa partícula ser o elétron e a = 1,0   n m . Qual é o comprimento de onda do fóton emitido quando o elétron salta do quinto para o primeiro nível de energia?

Passo 1

Fala pessoal, prontos para uma questão de quântica?

O item (a) quer que verifiquemos se a função de onda

ψ x = 2 a cos ⁡   3 π x a

é solução da equação de Schrodinger. Para isso, vamos lembrar que da equação:

- ℏ 2 2 m d 2 ψ d x 2 + V x   ψ = E   ψ

Nesse caso, V x = 0 no intervalo - a 2 < x < a 2 . Note que se trata de um problema do tipo posso quadrado infinito em que potencial é nulo dentro do intervalo e infinito fora. Assim, a equação fica

- ℏ 2 2 m d 2 ψ d x 2 = E   ψ

Para verificar se ψ x é solução dessa equação, basta derivar duas vezes com relação a x :

d ψ d x = - 3 π a 2 a   s e n   3 π x a

d 2 ψ d x 2 = - 3 π a 2 2 a cos ⁡   3 π x a = - 3 π a 2   ψ x

Substituindo na equação, temos que

- ℏ 2 2 m ⋅ - 3 π a 2   ψ x = E   ψ x

Logo, passando tudo para o mesmo lado

E - 9 π 2 ℏ 2 m a 2   ψ x = 0

Com isso vemos que ψ x satisfaz a equação se o termo entre parênteses se anular:

E - 9 π 2 ℏ 2 m a 2 = 0

Com isso, achamos de quebra a energia associada a essa partícula:

E = 9 π 2 ℏ 2 m a 2

Passo 2

No item (b) ele pede para fazer o mesmo com a função

ψ ' x = 2 a s e n   3 π x a

Derivando duas vezes com relação ao tempo, também achamos que

d 2 ψ ' d x 2 = - 3 π a 2 ψ ' x

Logo, essa solução também satisfaz a equação! Porém será que é uma solução válida?

Note que na solução do item (a), temos que

ψ - a 2 = ψ a 2 = 2 a cos ⁡ 3 π a ⋅ a 2 = 2 a cos ⁡ 3 π 2 = 0

Já para a função de onda do item (b):

ψ ' a 2 = 2 a   s e n   3 π a ⋅ a 2 = 2 a   s e n   3 π 2 = - 2 a ≠ 0

Portanto, a função de onda ψ ' não se anula na extremidade do poço infinito, que é uma condição necessária para uma solução da equação devido a condição de contorno que o potencial é infinito fora do intervalo. Portanto, a função apresentada no item (b) não é uma solução válida da equação de Schrodinger pois não satisfaz a condição de contorno no extremo do intervalo!

Passo 3

Para resolver os últimos dois itens, vamos achar a solução geral para esse problema. Você deve conhecer a solução geral para o poço quadrado infinito quando o intervalo é 0 < x < a :

ψ t r a d i c o n a l x = 2 a s e n   n π a x             e             E n = n 2   π 2 ℏ 2 2 m a 2

Se você quiser dar uma revisada de como se chega nessas fórmulas, dá uma olhada nos resumos do RespodeAí que você vai entender direitinho!

Acontece que no nosso problema, o intervalo do poço é - a 2 < x < a 2 . Note que a largura do poço é a mesma e igual a a , porém a origem é diferente. Portanto, temos que fazer uma translação do sistema de coordenadas. Para isso, basta trocar x por x - a / 2 na expressão para ψ :

ψ n x = 2 a s e n   n π a x - a 2             e             E n = n 2   π 2 ℏ 2 2 m a 2

Assim, o que antes acontecia na origem x = 0 , agora acontece em x = - a / 2 e, o que antes ocorria em x = a , agora ocorre em x = a / 2 . Observe também que a energia não foi alterada por essa translação.

Observe também que a solução do item (a) corresponde a n = 3 :

ψ 3 x = 2 a s e n   3 π a x - a 2 = 2 a s e n   3 π x a - 3 π 2

Usando s e n   a - b = s e n   a cos ⁡ b - s e n   b cos ⁡ a :

s e n   3 π x a - 3 π 2 = s e n   3 π x a cos ⁡ 3 π 2 - cos ⁡ 3 π x a   s e n   3 π 2 = 0 + cos ⁡ 3 π x a

Logo,

ψ 3 x = 2 a cos ⁡   3 π x a

Trocando n = 3 na energia:

E 3 = 9 π 2 ℏ 2 2 m a 2

Vemos que a energia também bate com o que achamos no item (a)!

Passo 4

Agora que temos a solução geral do problema, podemos resolver o item (c). Ele quer a distribuição de probabilidade para n = 5 . Vamos olhar primeiro para a função de onda:

ψ 5 x = 2 a s e n   5 π x a - 5 π 2

Por outro lado,

s e n   5 π x a - 5 π 2 = s e n   5 π x a cos ⁡ 5 π 2 - cos ⁡ 5 π x a   s e n   5 π 2

Como cos ⁡ 5 π 2 = 0 e s e n   5 π 2 = s e n   π 2 = 1 , temos que

ψ 5 x = - 2 a cos ⁡ 5 π x a

A função de probabilidade é o quadrado da função de onda:

P x = ψ x 2 = 2 a cos 2 ⁡ 5 π x a

A seguir eu ploto essa função no intervalo - a 2 < x < a 2 :

A função se anula em n - 1 = 4 pontos no interior do intervalo (como deve ser) e esses pontos correspondem às posições em que é impossível encontrar a partícula (pontos nodais).

Passo 5

Bora para o item (d): quando o elétron salta do nível n = 5 para o nível n = 1 , ele libera uma energia

Δ E = E 5 - E 1 = 5 2 π 2 ℏ 2 2 m a 2 - 1 2 π 2 ℏ 2 2 m a 2 = 24 π 2 ℏ 2 2 m a 2 = 12 π 2 ℏ 2 m a 2

Essa energia é liberada na forma de um fóton, com energia

Δ E = h f = h c λ

Assim,

h c λ = 12 π 2 ℏ 2 m a 2

Vamos lembrar que ℏ = h / 2 π , de modo que

h c λ = 12 π 2 h 2 / 4 π 2 m a 2

Logo,

h c λ = 3 h 2 m a 2

Isolando λ :

λ = m a 2 c 3 h = a 2 3 m c 2 h c

Lembre-se que h c = 1240   e V   n m e para o elétron

m c 2 = 511 ⋅ 10 3   e V

Usando a = 1,0   n m :

λ = 1 3   n m 2 ⋅ 511 ⋅ 10 3   e V 1240   e V   n m = 137   n m

Com isso fechamos o problema 😉.

Resposta

E = 9 π 2 ℏ 2 m a 2

ψ ' não é uma solução válida pois não se anula nas extremidades do intervalo.

P x = 2 a cos 2 ⁡ 5 π x a

λ = 137   n m

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