Exercícios Resolvidos de Partícula na Caixa Unidimensional

Considere um elétron que esteja confinado dentro de um poço de potencial unidimensional, com altura infinita e largura d.

(a) Escreva a equação de Schrödinger independente do tempo para este elétron na região 0 < x < d (dentro do poço).

(b) Obtenha as soluções normalizadas ψ x do problema acima e as correspondentes energias permitidas E n para o elétron na região 0 < x < d .

(c) Considere agora que o elétron se encontra no estado quântico descrito pela função de onda ψ x = A s e n 3 π x d , sendo A a constante de normalização obtida no item (b). Determine o comprimento de onda de de Broglie e o momento linear associado à este estado.

(d) Para o mesmo estado do item (c), determine a probabilidade de encontrar o elétron entre x = 0 e x = d 6 .

Passo 1

Lembrando que a equação de Schrödinger é dada por:

- ℏ 2 2 m   d 2 ψ x d x 2   + U x ψ x = E ψ ( x )

E que o poço de potencial infinito é descrito matematicamente por:

U x = ∞ ,   x < 0     0 ,   0 < x < d ∞ ,   x > d

Então na região dentro do poço, equivalente a 0 < x < d ,     U x = 0   e a equação fica:

- ℏ 2 2 m   d 2 ψ x d x 2   = E ψ ( x )

  d 2 ψ x d x 2 = - 2 m E ℏ 2 ψ x

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Passo 2

(b) As soluções da equação:

  d 2 ψ x d x 2 = - 2 m E ℏ 2 ψ x = - k 2 ψ ( x )

Onde

k 2 = 2 m E ℏ 2

São funções cujas derivadas segundas são menos uma constante ao quadrado vezes a própria função.

Isso acontece com as funções s e n ( k x ) e c o s ⁡ ( k x ) , e uma solução é uma combinação linear dessas duas, da forma:

ψ x = A s e n k x + B c o s ( k x )

Pelas condições de contorno do problema:

ψ 0 = 0 ⇒ B = 0 ∴ ψ x = A s e n k x

ψ d = 0 ⇒ A s e n k d = 0

Como não queremos uma solução trivial ( A = 0 ⇒ ψ x = 0 é solução trivial), vamos fazer:

s e n k d = 0

k d = n π

k = n π d

Com n = 1,2 , 3 , …

Com isso já conseguimos achar as energias permitidas E n .

Temos:

k 2 = 2 m E ℏ 2

E = k 2 ℏ 2 2 m

Substituindo pelo valor de k que achamos:

E n = n 2 π 2 d ℏ 2 2 m

E n =   n 2 π 2 d h 2 4 π 2 2 m

E n = n 2 h 2 8 m d 2

Passo 3

Ainda precisamos achar as soluções normalizadas, pois até agora temos:

ψ x = A s e n n π d

Para isso, vamos usar a condição de normalização:

∫ 0 d ψ x 2 d x = 1

A 2 ∫ 0 d s e n 2 n π d d x = 1

Usando que:

∫ 0 d s e n 2 a x d x = x 2 - s e n 2 a x 4 a x = 0 x = d

Achamos:

A 2 d 2 = 1

A = 2 d

Logo, a solução normalizada é:

ψ x = 2 d s e n n π x d ,   n = 1,2 , 3 …

Passo 4

(c) A gente acabou de achar que:

ψ x = 2 d s e n n π x d

E o enunciado deu pra gente um elétron que está num estado descrito pela função:

ψ x = A s e n 3 π x d

Comparando essas duas funções, achamos que:

n = 3

Para achar a energia desse estado, vamos usar a fórmula que achamos no Passo 2:

E n = n 2 h 2 8 m d 2

Substituindo n = 3 :

E 3 = 9 h 2 8 m d 2

Para achar o comprimento de onda de de Broglie, vamos usar que:

k n = 2 π λ ⇒ λ = 2 π k n

Mas também tínhamos visto que:

k 2 = 2 m E ℏ 2

Logo:

k 3 2 = 2 m E 3 ℏ 2

k 3 2 = 2 m ℏ 2 9 h 2 8 m d 2

k 3 2 = 9 h 2 4 ℏ 2 d 2

k 3 = 3 h 2 ℏ d = 3 2 d 2 π h h

k 3 = 3 π d

Substituindo na fórmula para o comprimento de onda:

λ = 2 π k 3 = 2 π d 3 π

λ = 2 3 d

Para achar o momento linear, vamos usar que:

p 2 = 2 m E

Para a energia E 3 = 9 h 2 8 m d 2 :

p 2 = 2 m 9 h 2 8 m d 2

p 2 = 9 h 2 4 d 2

p = ± 3 h 2 d

Passo 5

(d) A probabilidade de encontrar o elétron entre x = 0 e x = d 6 é dada por:

∫ 0 d 6 | ψ x ​ 2 d x

Substituindo:

∫ 0 d 6 | ψ x ​ 2 d x = 2 d ∫ 0 d 6 s e n 2 3 π x d d x

De novo vamos usar que:

∫ 0 d s e n 2 a x d x = x 2 - s e n 2 a x 4 a x = 0 x = d

Assim:

∫ 0 d 6 | ψ x ​ 2 d x = 2 d d 12 - s e n 6 π x d 12 π

∫ 0 d 6 | ψ x ​ 2 d x = 2 d d 12 = 1 6  

Resposta

(a)   d 2 ψ x d x 2 = - 2 m E ℏ 2 ψ x

(b) E n = n 2 h 2 8 m d 2

ψ x = 2 d s e n n π x d ,   n = 1,2 , 3 …

(c) λ = 2 3 d

p = ± 3 h 2 d

(d) ∫ 0 d 6 | ψ x ​ 2 d x = 1 6

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