Exercícios Resolvidos de Partícula na Caixa Unidimensional

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Enunciado

a) Um elétron livre tem energia E 0 e se propaga da esquerda para a direita ao longo do eixo x . A partir da Eq. De Schrodinger, encontre a função de onda ψ x que o representa (a menos de uma constante de normalização) e ache o comprimento de onda de de Broglie associado ao elétron se E 0 = 12,5   e V .

b) Se uma partícula está no quarto nível de energia de um poço infinito de largura l , qual é a probabilidade de encontrá-la no primeiro 1/8 do poço?

c) Determinadas partículas são muito instáveis e se desintegram em um tempo muito pequeno. Por causa do Princípio da Incerteza, sua massa de repouso não pode ser determinada exatamente. Uma partícula elementar chamada méson ϕ tem massa média de 1020   M e V / c 2 com uma incerteza de massa de 4   M e V / c 2 . Estime o tempo de vida do méson ϕ , em segundos.

Passo 1

Eai galerinha, prontos para resolver uma questão de física 4?

No item (a) temos um problema de partícula livre. Primeiro vamos lembrar a equação de Schrodinger:

- ℏ 2 2 m d 2 ψ d x 2 + V ψ = E ψ

Como o elétron está livre, temos V = 0 , de modo que

- ℏ 2 2 m d 2 ψ d x 2 = E ψ → d 2 ψ d x 2 = - 2 m E ℏ 2 ψ = - k 2 ψ

A solução geral dessa equação é

ψ x = A e - i k x + B e i k x

Como a partícula se propaga para direita, temos que escolher a segunda opção:

ψ x = B e i k x ,         k = 2 m E ℏ

Usando que k = 2 π / λ , achamos

2 π λ = 2 m E ℏ → λ = 2 π ℏ 2 m E

Como 2 π ℏ = h , podemos escrever

λ = h c 2 m c 2   E

Usando m c 2 = 511 ⋅ 10 3   e V e h c = 1240   e V   n m :

λ = 1240 2 ⋅ 511 ⋅ 10 3 ⋅ 12,5   n m

Logo,

λ = 0,347   n m

Ou ainda,

λ = 3,47 ⋅ 10 - 10   m

Passo 2

No item (b) temos um problema de poço quadrado infinito. A função de onda para esse tipo de problema é

ψ x = 2 L   s e n n π x L ,

onde L é a largura do poço. Como estamos falando do quarto nível de energia, temos n = 4 , de modo que

ψ x = 2 L   s e n 4 π x L

Sabemos que a probabilidade é a integral do quadrado da função de onda. Assim,

P x < L 8 = ∫ 0 L / 8 ψ x 2   d x = 2 L ∫ 0 L / 8 s e n 2 4 π x L   d x

Para fazer essa integral nós usamos a relação

cos ⁡ 2 θ = 1 - 2   s e n 2 θ → s e n 2 θ = 1 - cos ⁡ 2 θ 2

Com isso,

P x < L 8 = 1 L ∫ 0 L / 8 1 - cos ⁡ 8 π x L   d x

Fazendo a integral:

P x < L 8 = 1 L x - L 8 π s e n 8 π x L 0 L / 8

Logo,

P x < L 8 = 1 L L 8 - 0 - L 8 π s e n 0 - L 8 π s e n π

Portanto,

P x < L 8 = 1 8

Passo 3

Agora vamos para o item (c)!

Nesse problema vamos usar a relação de incerteza entre energia e tempo:

Δ E ⋅ Δ t   ~ ℏ 2

Como E = m c 2 , temos que

Δ E = Δ m   c 2

Portanto,

Δ m   c 2 ⋅ Δ t   ~ ℏ 2

Logo,

Δ t   ~ ℏ 2   Δ m   c 2

Como Δ m = 4   M e V / c 2 , temos que Δ m   c 2 = 4 ⋅ 10 6   e V . Usando ℏ = h / 2 π e h = 4,14 ⋅ 10 - 15   e V   s :

Δ t   ~   4,14 ⋅ 10 - 15   e V   s 2 ⋅ 3,14 ⋅ 2 ⋅ 4 ⋅ 10 6   e V ≈ 0,082 ⋅ 10 - 21   s

Ou ainda,

Δ t     ~   8,2 ⋅ 10 - 23   s

Esse é o tempo de vida médio do méson ϕ . E com isso fechamos o problema 😊!

Resposta

ψ x = B e i k x ,           k = 2 m E ℏ                 e               λ = 3,47 ⋅ 10 - 10   m

P x < L 8 = 1 8

Δ t     ~   8,2 ⋅ 10 - 23   s

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