Exercícios Resolvidos de Partícula na Caixa Unidimensional

Young e Freedman, Física IV Ótica e Física Moderna, 12ª ed, São Paulo: Addison Wesley, 2009, pp 260-40.1

  1. Determine o nível de energia mais baixo para a partícula em uma caixa supondo que a partícula seja uma bola de bilhar m = 0,20   k g e que a largura da caixa seja 1,5   m , o tamanho de uma mesa do jogo de bilhar. (Suponha que a bola de bilhar deslize sem atrito em vez de rolar. Ou seja, despreze a energia cinética da rotação.).
  2. Como a energia do item (a) é totalmente dada pela energia cinética, a que velocidade isso corresponde? Com essa velocidade, quanto tempo a bola levaria para ir de uma extremidade da mesa até a outra?
  3. Qual é a diferença de energia entre os níveis n = 2 e n = 1 ?
  4. Os efeitos da mecânica quântica são importantes para o jogo de bilhar?

Passo 1

Letra (a): Determine o nível de energia mais baixo para a partícula em uma caixa supondo que a partícula seja uma bola de bilhar m = 0,20   k g e que a largura da caixa seja 1,5   m , o tamanho de uma mesa do jogo de bilhar. (Suponha que a bola de bilhar deslize sem atrito em vez de rolar. Ou seja, despreze a energia cinética da rotação.).

O nível mais baixo de energia corresponde à energia do estado fundamental, dada por:

E 1 = h 2 8 m L 2

Onde:

h = 6,626 ∙ 10 - 34   J   s ;

m = 0,2   k g ;

L = 1,5   m ;

Logo:

E 1 = 6,626 ∙ 10 - 34 2 8 ∙ 0,2 ∙ 1,5 2 = 1,22 ∙ 10 - 67   J

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Passo 2

Letra (b): Como a energia do item (a) é totalmente dada pela energia cinética, a que velocidade isso corresponde? Com essa velocidade, quanto tempo a bola levaria para ir de uma extremidade da mesa até a outra?

Comparando a energia encontrada no item (a) com a energia cinética, temos:

m v 2 2 = E 1

v = 2 E 1 m

Onde:

m = 0,2   k g ;

E 1 = 1,22 ∙ 10 - 67   J ;

Logo:

v = 2 ∙ 1,22 ∙ 10 - 67 0,2 = 1,1 ∙ 10 - 33   m / s

Passo 3

O tempo necessário para chegar ao outro lado da caixa é dado por:

v = Δ s Δ t → Δ t = Δ s v = L v

Δ t = 1,5 1,1 ∙ 10 - 33 = 1,4 ∙ 10 33   s  

Passo 4

Letra (c): Qual é a diferença de energia entre os níveis n = 2 e n = 1 ?

A energia em qualquer nível de energia é dado por:

E n = n 2 E 1

Logo:

E 2 - E 1 = 2 2 - 1 2 E 1

Onde E 1 = 1,22 ∙ 10 - 67   J .

E 2 - E 1 = 3 ∙ 1,22 ∙ 10 - 67 = 3,66 ∙ 10 - 67   J

Passo 5

Letra (d): Os efeitos da mecânica quântica são importantes para o jogo de bilhar?

Não, pois a energia no estado fundamental é muito pequena para uma massa relativamente grande.

Além disso, a velocidade é muito pequena em comparação com a escala da bola, que fica com um tempo de percurso correspondente a mais de um bilhão de anos.

Resposta

Letra (a):

E 1 = 1,22 ∙ 10 - 67   J

Letra (b):

v = 1,1 ∙ 10 - 33   m / s

Δ t = 1,4 ∙ 10 33   s  

Letra (c):

E 2 - E 1 = 3,66 ∙ 10 - 67   J

Letra (d):

Não, pois a energia no estado fundamental é muito pequena para uma massa relativamente grande.

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