Exercícios Resolvidos de Partícula na Caixa Unidimensional

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Enunciado

Uma partícula de massa m encontra-se confinada em uma caixa unidimensional C , descrita pela região 0 ≤ x ≤ L / 2 . A energia potencial é U x = 0 para pontos no interior da caixa e U x = ∞ para pontos fora da caixa. As equações do formulário podem ser usadas sem demonstração. NÃO substitua os valores das constantes fundamentais na resposta final de cada item.

a) Determine a energia do segundo estado excitado do sistema.

b) Determine a função de onda independente do tempo (normalizada) do estado fundamental.

Passo 1

Fala pessoal, beleza?

Nesse problema vamos brincar com o poço quadrado finito. O enunciado disse que podíamos usar os dados do formulário, mas aí o problema seria uma mera substituição de fórmulas. Como estou aqui para ajudar você a estudar, vou fazer todas as contas para deduzir a energia e a função de onda desse problema.

A equação de Schrodinger independente do tempo é dada por

- ℏ 2 2 m d 2 ψ d x 2 + U x   ψ x = E   ψ x

Dentro da caixa o potencial é nulo, de modo que

- ℏ 2 2 m d 2 ψ d x 2 = E   ψ x → d 2 ψ d x 2 = - 2 m E ℏ 2   ψ x

Chamando k 2 = - 2 m E / ℏ 2 , temos a equação diferencial

d 2 ψ d x 2 = - k 2 ψ x ,                     E = - k 2 ℏ 2 2 m

Note que essa é a mesma equação do oscilador harmônico, de modo que a solução geral é

ψ x = A   s e n   k x + B cos ⁡ k x

Passo 2

Mas quem são as constantes A e B nesse problema?

Como potencial é infinito fora da caixa, a função de onda deve se anular em todos os pontos fora dela, incluindo nas extremidades x = 0 e x = L / 2 :

x = 0 → 0 = A   s e n   0 + B cos ⁡ 0 → B = 0

x = L 2 → 0 = A   s e n   k L 2 + B cos ⁡ k L 2

Como B = 0 , a segunda relação nos dá:

A   s e n   k L 2 = 0

Daqui podemos tirar duas coisas: ou A = 0 ou s e n   k L 2 = 0 . Se A = 0 a função de onda vai ser nula para todos os pontos dentro da caixa, o que não faz muito sentido. Com isso, temos que tomar

s e n   k L 2 = 0

Para que isso aconteça, o argumento do seno deve ser um múltiplo inteiro de π :

k L 2 = n π

Com isso, achamos uma condição nos possíveis valores de k :

k = 2 n π L → E = - k 2 ℏ 2 2 m = - 4 n 2 π 2 L 2 ⋅ ℏ 2 2 m = - 2 n 2 π 2 ℏ 2 m L 2

Desta forma,

ψ n x = A   s e n   2 n π x L ,               E n = - 2 n 2 π 2 ℏ 2 m L 2

Note que para cada n natural vamos ter uma função de onda diferente.

Passo 3

Falta ainda determinar a constante de normalização A . Para isso, temos que a lembrar da condição de normalização:

∫ - ∞ + ∞ ψ x 2   d x = 1

Como a função de onda só não é nula dentro da caixa, temos que

∫ 0 L / 2 ψ x 2   d x = 1

Logo,

A 2   ∫ 0 L / 2 s e n 2 2 n π x L   d x = 1

Para fazer a integral, vamos fazer a substituição

θ = 2 n π L x → d x = L 2 n π d θ

Assim,

∫ 0 L / 2 s e n 2 2 n π x L   d x = L 2 n π ∫ 0 n π s e n 2   θ   d θ

Daí, usamos s e n 2 θ = ( 1 - cos ⁡ 2 θ / 2 ) :

∫ 0 L / 2 s e n 2 2 n π x L   d x = L 2 n π ⋅ 1 2 ∫ 0 n π 1 - cos ⁡ 2 θ   d θ

Logo,

∫ 0 L / 2 s e n 2 2 n π x L   d x = L 4 n π θ - 1 2 s e n   2 θ 0 n π = L 4

Portanto,

A 2 ⋅ L 4 = 1 → A = 2 L

Com isso, a função de onda normalizada é

ψ n x = 2 L s e n   2 n π x L ,               E n = - 2 n 2 π 2 ℏ 2 m L 2

Passo 4

No item (a) queremos a energia do segundo estado excitado. Cuidado que isso é uma pegadinha! O estado fundamental é n = 1 , o primeiro estado excitado é n = 2 e o segundo estado excitado é n = 3 . Assim, a energia será

E 3 = - 18 π 2 ℏ 2 m L 2

No item (b) ele pede a função de onda do estado fundamental ( n = 1 ), de modo que

ψ 1 x = 2 L s e n   2 π x L

Com isso fechamos o problema 😉.

Resposta

E 3 = - 18 π 2 ℏ 2 m L 2

ψ 1 x = 2 L s e n   2 π x L

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