Exercícios Resolvidos de Partícula na Caixa Unidimensional

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Enunciado

Um elétron encontra-se aprisionado num poço de potencial unidimensional infinito de comprimento L (caixa quântica).

Este elétron comporta-se como uma corda presa nas extremidades ( x = 0 e x = L ) e está inicialmente no estado fundamental.

Dados m e , L , h e ∫ sen 2 ⁡ x d x = x 2 - sen ⁡ 2 x 4 , em função dos dados:

  1. Deduza a energia e o momento do elétron.
  2. Encontre o vetor de estado (função de onda) para o estado fundamental, normalizado.
  3. Qual a probabilidade de encontrar o elétron entre x = 0 e x = L / 4 , se ele estiver no segundo estado?
  4. Se o elétron estiver no quarto estado, quais os pontos de menor probabilidade de encontrar o elétron, em função de L ?
  5. Se o elétron estiver no quarto estado, quais os pontos de maior probabilidade de encontrar o elétron, em função de L ?

Passo 1

a) Deduza a energia e o momento do elétron.

Para uma onda estacionária, podemos dizer que:

L = n λ 2 → λ = 2 L n

O momento do elétron é dado por:

p n = h λ = n h 2 L

Como o elétron se encontra no estado fundamental, n = 1 , logo:

p 1 = h 2 L

Passo 2

A energia do elétron é dada por:

E 1 = p 1 2 2 m e

Substituindo a expressão para p 1 que acabamos de encontrar:

E 1 = h 2 8 m e L 2

Passo 3

b) Encontre o vetor de estado (função de onda) para o estado fundamental, normalizado.

A expressão geral para a função de onda em um problema de poço de potencial infinito é:

ψ n = A sen ⁡ n π x L

O valor de A é encontrado a partir da condição de normalização, dada por:

∫ - ∞ ∞ ψ x 2 d x = 1

Mas como o elétron está aprisionado na caixa de comprimento L , a função de onda só existe no intervalo 0 < x < L , os limites de integração serão 0 e L .

A 2 ∫ 0 L sen 2 ⁡ n π x L d x = 1

Para resolvermos essa integral, podemos fazer a seguinte substituição:

t = n π x L

d t = n π L d x

0 < x < L

0 < t < n π

Substituindo na integral, teremos:

A 2 L n π ∫ 0 n π sen 2 ⁡ t d t = 1

Segundo o enunciado:

∫ sen 2 ⁡ x d x = x 2 - sen ⁡ 2 x 4

Logo:

A 2 L n π   t 2 - sen ⁡ 2 t 4 0 n π = 1

A 2 L n π n π 2 = 1

A 2 L 2 = 1

A = 2 / L  

Substituindo na expressão da função de onda:

ψ n = 2 / L   sen ⁡ n π x L

No estado fundamental, n = 1 , logo:

ψ 1 = 2 / L   sen ⁡ π x L

Passo 4

c) Qual a probabilidade de encontrar o elétron entre x = 0 e x = L / 4 , se ele estiver no segundo estado?

Se o elétron estiver no segundo estado, então n = 2 , e a função de onda é dada por:

ψ 2 = 2 / L   sen ⁡ 2 π x L

A probabilidade de o elétron estar na região 0 ≤ x ≤ L / 4 é dada por:

p = ∫ 0 L / 4 ψ x 2 d x

Logo:

p = 2 L ∫ 0 L / 4 sen 2 ⁡ 2 π x L d x

Para resolvermos essa integral, podemos fazer a seguinte substituição:

t = 2 π x L

d t = 2 π L d x

0 < x < L / 4

0 < t < π / 2

Substituindo na integral, teremos:

p = 2 L L 2 π   ∫ 0 π / 2 sen 2 ⁡ t d t = 1 π ∫ 0 π / 2 sen 2 ⁡ t d t

Segundo o enunciado:

∫ sen 2 ⁡ x d x = x 2 - sen ⁡ 2 x 4

Logo:

p = 1 π   t 2 - sen ⁡ 2 t 4 0 π / 2

p = 1 π   π 4 = 1 4

Passo 5

d) Se o elétron estiver no quarto estado, quais os pontos de menor probabilidade de encontrar o elétron, em função de L ?

A probabilidade de encontrarmos o elétron em um determinado intervalo a < x < b é dado por:

p = ∫ a b ψ x 2   d x

Se o elétron estiver no quarto estado, então n = 4 , e a função de onda é dada por:

ψ 4 = 2 / L   sen ⁡ 4 π x L

Os pontos de menor probabilidade de encontrarmos o elétron serão os pontos onde: ψ 4 = 0

Logo:

sen ⁡ 4 π x L = 0

Isso só é possível quando o argumento da função seno é igual a um número inteiro de π :

4 π x L = n π

x = n L 4

0 < x < L

Logo, os pontos possíveis serão:

x = 0 , L 4 , L 2 , 3 L 4 ,   L

Passo 6

e) Se o elétron estiver no quarto estado, quais os pontos de maior probabilidade de encontrar o elétron, em função de L ?

A probabilidade de encontrarmos o elétron em um determinado intervalo a < x < b é dado por:

p = ∫ a b ψ x 2   d x

Se o elétron estiver no quarto estado, então n = 4 , e a função de onda é dada por:

ψ 4 = 2 / L   sen ⁡ 4 π x L

Os pontos de maior probabilidade de encontrarmos o elétron serão os pontos onde ψ 4 é máximo ou mínimo, garantindo que ψ 4 2 seja máximo. Logo:

sen ⁡ 4 π x L = ± 1

Isso só é possível quando:

4 π x L = 1 2 + n π

x = 1 2 + n L 4

0 < x < L

Logo, os pontos possíveis serão:

x = L 8 , 3 L 8 , 5 L 8 , 7 L 8

Resposta

a)

p 1 = h 2 L

E 1 = h 2 8 m e L 2

b)

ψ 1 = 2 / L   sen ⁡ π x L

c)

p = 1 4

d)

x = 0 , L 4 , L 2 , 3 L 4 ,   L

e)

x = L 8 , 3 L 8 , 5 L 8 , 7 L 8

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