Exercícios Resolvidos de Partícula na Caixa Unidimensional

Ver Teoria

Enunciado

A dinâmica de uma partícula subatômica de massa m pode ser estudada modelando-a confinada em um poço unidimensional de largura L como mostra a figura.

  1. Escreva a equação de Schrödinger para esta partícula com energia E no poço.
  2. Obtenha, resolvendo a equação do item a , as funções de onda normalizadas ψ n .
  3. Qual é a separação Δ E em energia entre os estados da partícula correspondentes aos dois níveis mais baixos de energia nesse poço?

Passo 1

Letra a)

A equação de Schrödinger é:

- ℏ 2 2 m d 2 ψ x d x 2 + U x ψ x = E ψ ( x )

Porém, para a partícula no poço ( 0 < x < L ), temos U x = 0 e a equação fica:

- ℏ 2 2 m d 2 ψ x d x 2 = E ψ ( x )

Podemos também rearrumá-la e mostrar ela de outra forma:

d 2 ψ x d x 2 = - 2 m E ℏ 2 ψ ( x )

Passo 2

Letra b)

A equação da letra a é:

d 2 ψ x d x 2 = - 2 m E ℏ 2 ψ ( x )

Se definirmos uma nova constante:

k 2 = 2 m E ℏ 2

Teremos:

d 2 ψ x d x 2 = - k 2 ψ ( x )

Cuja solução é uma combinação de seno e coseno.

ψ x = A sen ⁡ k x + B cos ⁡ k x

Passo 3

Agora, precisamos usar as condições de contorno na nossa função.

No caso de uma partícula na caixa, ela está completamente presa dentro da caixa, o que significa que a probabilidade dela ser encontrada fora da caixa é zero.

x ≤ 0   o u   x ≥ L   →     ψ x = 0

Pela continuidade da função de onda, isso nos dá as condições de contorno:

ψ 0 = B = 0

ψ L = A sen ⁡ k L + B cos ⁡ k L = 0

Como B = 0 pela primeira condição, a segunda na verdade nos diz que:

A sen ⁡ k L = 0

Temos 3 opções para essa igualdade ser verdadeira:

  • Igualamos A = 0 . Neste caso, nossa função de onda é sempre zero, e não temos partícula nenhuma.
  • Igualamos k = 0 , fazendo sen ⁡ 0 = 0 . Neste caso, novamente nossa função de onda é sempre zero (pois B = 0 zera o coseno ).
  • Igualamos k L = n π . Neste caso ficaríamos com sen ⁡ n π = 0 , n = 1 ,   2 ,   3 ,   … ( n = 0 a gente recairia em k = 0 )

A única opção viável é a terceira. Ela nos dá uma restrição no nosso k .

k n = n π L ;     n = 1 ,   2 ,   3 ,   …

A nossa função de onda fica:

ψ n x = A sen ⁡ n π x L

0 ≤ x ≤ L

Passo 4

Falta uma última coisa que o item nos pede, que é normalizar a função de onda.

Integrando ela de - ∞ até + ∞ , temos:

∫ - ∞ + ∞ ψ n x 2 d x = ∫ 0 L A 2 sen 2 ⁡ n π x L d x = 1

Pois fora do intervalo, a função é zero, então não contribui pra integral. Precisamos encontrar a constante A para que essa equação seja satisfeita.

Resolvendo:

∫ A 2 sen 2 ⁡ n π x L d x = A 2 ∙ ∫ sen 2 ⁡ n π x L d x

Pra resolver essa integral, é preciso uma dica dourada, que é:

sen 2 ⁡ x = 1 2 - cos ⁡ 2 x 2

∫ sen 2 ⁡ n π x L d x = ∫ 1 2 - cos ⁡ 2 n π x L 2 d x = x 2 - L 2 n π ∙ sen ⁡ 2 n π x L 2 + C

Usando os limites de integração:

∫ - ∞ + ∞ ψ n x 2 d x = A 2 ∙ L 2 - L 2 n π ∙ sen ⁡ 2 n π - 0 + L 2 n π ∙ sen ⁡ 0 = 1

Porém:

sen ⁡ 2 n π = sen ⁡ 0 = 0

A 2 ∙ L 2 = 1

A = 2 / L

As funções de onda normalizadas são:

ψ n x = 2 / L ∙ sen ⁡ n π x L

Passo 5

Letra c)

Para achar a diferença de energia entre os dois níveis mais baixos do poço, precisamos saber a energia dos estados da partícula presa na caixa.

Para isso, basta igualarmos o k n que achamos pelas condições de contorno com a definição do nosso k .

k n 2 = n 2 π 2 L 2 = k 2 = 2 m E ℏ 2

E n = n 2 ∙ π 2 ℏ 2 2 m L 2

Ou, como ℏ = h / 2 π , temos:

E n = n 2 ∙ π 2 ∙ h 2 / 4 π 2 2 m L 2 = n 2 ∙ h 2 8 m L 2

Os dois menores níveis de energia correspondem a n = 1 e n = 2 . Assim temos:

Δ E = 2 2 ∙ h 2 8 m L 2 - 1 2 ∙ h 2 8 m L 2 = h 2 8 m L 2 ∙ 4 - 1

Δ E = 3 ∙ h 2 8 m L 2

Resposta

Letra a)

- ℏ 2 2 m d 2 ψ x d x 2 = E ψ ( x )

Letra b)

ψ n x = 2 / L ∙ sen ⁡ n π x L

Letra c)

Δ E = 3 ∙ h 2 8 m L 2

Exercícios de Livros Relacionados

Uma partícula está no primeiro estado excitado (n = 2) de uma caixa unidimensional com comprimento L. (A caixa tem uma extremidade na origem e a outra extremidade no eixo x positivo.) Encontre (a) x e
Uma caixa unidimensional está no eixo x na região de 0 ≤ x ≤ L. Uma partícula nesta caixa está em seu estado fundamental. Calcule a probabilidade de a partícula ser encontrada na região (a) x L21 0
Um dado de seis lados tem o número 1 pintado em três lados e o número 2 pintado nos outros três lados. (a) Qual é a probabilidade de aparecer 1 quando o dado é lançado? (b) Qual é o valor esperado do