Exercícios Resolvidos de Partícula na Caixa Unidimensional

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Enunciado

2 . PARTE 2

Um elétron encontra-se num poço de potencial unidimensional com barreiras infinitas, situado entre 0 < x < L . No instante t = 0 , a função de onda deste elétron é dada por Ψ ( x ,   t = 0 ) = i A x - L / 2 3 , sendo A uma constante real.

( a ) Encontre a derivada ∂ Ψ ( x , t ) ∂ t na posição x = L / 4 no instante t = 0 . Expresse sua resposta em termos de A , L e das constantes universais.

( b ) Justique se o estado acima é estacionário.

Passo 1

E aí, vamos para mais um? Vem comigo então!

Nessa parte do problema vamos usar a equação de Schödinger, dada por:

i ℏ ∂ Ψ ( x , t ) ∂ t = - ℏ 2 2 m ∂ 2 Ψ x , t ∂ x 2 + V x Ψ x , t

Mas como estamos num poço de potencial infinito, temos que dentro do poço V x = 0 , logo a equação é da seguinte forma:

i ℏ ∂ Ψ ( x , t ) ∂ t = - ℏ 2 2 m ∂ 2 Ψ x , t ∂ x 2

E que a solução mais geral de um estado estacionário para essa equação é da seguinte forma:

Ψ x , t = ψ x e - i E t / ℏ

Vamos lá então!

Passo 2

Começando com o item ( a ) .

Ele quer a derivada temporal da função de onda Ψ em t = 0 na posição x = L / 4 . Pela equação de Schrödinger, temos:

i ℏ ∂ Ψ ( x , t ) ∂ t = - ℏ 2 2 m ∂ 2 Ψ x , t ∂ x 2

⇒ ∂ Ψ ( x , t ) ∂ t = - ℏ 2 m i ∂ 2 Ψ x , t ∂ x 2

Agora usando o fato de que em t = 0 , temos:

Ψ ( x ,   t = 0 ) = i A x - L 2 3

Podemos calcular ∂ 2 Ψ x , 0 ∂ x 2 , assim:

∂ Ψ ∂ x = 3 i A x - L 2 2

⇒ ∂ 2 Ψ ∂ x 2 = 6 i A x - L 2

Com isso temos que:

∂ Ψ ( x , 0 ) ∂ t = - ℏ 2 m i 6 i A x - L 2

= - ℏ m 3 A x - L 2

Agora usando que x = L / 4 , temos:

∂ Ψ ( L / 4 , 0 ) ∂ t = - ℏ m 3 A L 4 - L 2

⇒ ∂ Ψ ( L / 4,0 ) ∂ t = 3 ℏ L A 4 m

Passo 3

Agora para o item ( b ) .

Para saber se estado estacionário temos que usar o fato de um estado estacionário é dada por:

Ψ x , t = ψ x e - i E t / ℏ

Logo:

∂ Ψ x , t ∂ t = - i E ℏ ψ x e - i E t / ℏ

= - i E ℏ Ψ x , t

Então para o estado ser estacionário, teríamos que ter:

∂ Ψ ( L / 4,0 ) ∂ t = - i E ℏ Ψ L / 4 , 0

Mas vimos que para o estado do item anterior temos que:

∂ Ψ ( L / 4,0 ) ∂ t = 3 ℏ L A 4 m

Que é diferente de

- i E ℏ i A L 4 - L 2 3

= - E A ℏ L 3 64

Logo o estado não é estacionário.

Resposta

( a )

∂ Ψ ( L / 4,0 ) ∂ t = 3 ℏ L A 4 m

( b )

O estado não é estacionário.

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