Exercícios Resolvidos de Partícula na Caixa Unidimensional

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Enunciado

Considere uma partícula de massa m e energia E num potencial unidimensional que é nulo na região 0 < x < d e infinito para x ≤ 0 ou x ≥ d .

  1. Escreva a função de onda ψ x nas regiões x ≤ 0 e x ≥ d . Justifique.
  2. Escreva a equação de Schrödinger independente do tempo na região 0 < x < d e as condições de contorno que a função de onda deve satisfazer.
  3. Resolva a equação de Schrödinger com as condições de contorno, determinando as funções de onda (não é necessário normalizá-las) e os níveis de energia.

Passo 1

Letra a)

Nas regiões x ≤ 0 e x ≥ d a função de onda é

ψ x = 0

Pois a partícula estando confinada na caixa pelos potenciais infinitos, ela não poderia nunca ser encontrada do lado de fora.

Passo 2

Letra b)

Nesta região, U x = 0 e a equação de Schrödinger fica

- ℏ 2 2 m d 2 ψ x d x 2 = E ψ ( x )

As equações de contorno são dadas pela continuidade da função de onda.

Como fora da caixa, ψ x = 0 , temos que:

ψ 0 = 0 ;     ψ d = 0

Passo 3

Letra c)

A função de onda é do tipo:

d 2 ψ x d x 2 = - k 2   ψ x

Onde k 2 = 2 m E ℏ 2 .

E com isso a função de onda mais geral será uma combinação de senos e cossenos:

ψ x = A sen ⁡ k x + B cos ⁡ k x

Usando as condições de contorno, temos:

ψ 0 = B = 0

ψ d = A sen ⁡ k d = 0

Neste caso, ou temos A = 0 e nesse caso a função de onda é nula, não sendo normalizável (pois ficaria nula em toda a reta real) ou temos sen ⁡ k d = 0 .

Novamente, ou temos k = 0 , o que também não é desejado, ou k d = n π (a função seno zera em 0 , π , 2 π , 3 π , ... ) e temos:

k = n π d

E com isso a função de onda é:

ψ x = A sen ⁡ n π x d

Para achar os níveis de energia, precisamos igualar k encontrado pela condição de contorno com a sua definição.

n 2 π 2 d 2 = 2 m E ℏ 2

E n = n 2 ∙ ℏ 2 π 2 2 m d 2

E n = n 2 ∙ h 2 8 m d 2

Resposta

Letra a)

ψ x = 0

Pois a partícula está confinada dentro da caixa.

Letra b)

- ℏ 2 2 m d 2 ψ x d x 2 = E ψ ( x )

ψ 0 = 0 ;     ψ d = 0

Letra c)

ψ x = A sen ⁡ n π x d

E n = n 2 ∙ h 2 8 m d 2

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