Exercícios Resolvidos de Partícula na Caixa Unidimensional

USP, Física 4, P3 - 2012, Questão Q1

Considere uma partícula de massa Equation e energia Equation num potencial unidimensional que é nulo na região Equation e infinito para Equation ou Equation .

  1. Escreva a função de onda Equation nas regiões Equation e Equation . Justifique.
  2. Escreva a equação de Schrödinger independente do tempo na região Equation e as condições de contorno que a função de onda deve satisfazer.
  3. Resolva a equação de Schrödinger com as condições de contorno, determinando as funções de onda (não é necessário normalizá-las) e os níveis de energia.

Passo 1

Letra a)

Nas regiões Equation e Equation a função de onda é

Equation

Pois a partícula estando confinada na caixa pelos potenciais infinitos, ela não poderia nunca ser encontrada do lado de fora.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Letra b)

Nesta região, Equation e a equação de Schrödinger fica

Equation

As equações de contorno são dadas pela continuidade da função de onda.

Como fora da caixa, Equation , temos que:

Equation

Passo 3

Letra c)

A função de onda é do tipo:

Equation

Onde Equation .

E com isso a função de onda mais geral será uma combinação de senos e cossenos:

Equation

Usando as condições de contorno, temos:

Equation

Equation

Neste caso, ou temos Equation e nesse caso a função de onda é nula, não sendo normalizável (pois ficaria nula em toda a reta real) ou temos Equation .

Novamente, ou temos Equation , o que também não é desejado, ou Equation (a função seno zera em Equation , Equation , Equation , Equation , ... ) e temos:

Equation

E com isso a função de onda é:

Equation

Para achar os níveis de energia, precisamos igualar Equation encontrado pela condição de contorno com a sua definição.

Equation

Equation

Equation

Resposta

Letra a)

Equation

Pois a partícula está confinada dentro da caixa.

Letra b)

Equation

Equation

Letra c)

Equation

Equation

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