Exercícios Resolvidos de Partícula na Caixa Unidimensional

USP, Física 4, P3 - 2013, Questão Q4

A dinâmica de uma partícula subatômica de massa Equation pode ser estudada modelando-a confinada em um poço unidimensional de largura Equation como mostra a figura.

  1. Escreva a equação de Schrödinger para esta partícula com energia Equation no poço.
  2. Obtenha, resolvendo a equação do item Equation , as funções de onda normalizadas Equation .
  3. Qual é a separação Equation em energia entre os estados da partícula correspondentes aos dois níveis mais baixos de energia nesse poço?

Passo 1

Letra a)

A equação de Schrödinger é:

Equation

Porém, para a partícula no poço ( Equation ), temos Equation e a equação fica:

Equation

Podemos também rearrumá-la e mostrar ela de outra forma:

Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Letra b)

A equação da letra Equation é:

Equation

Se definirmos uma nova constante:

Equation

Teremos:

Equation

Cuja solução é uma combinação de seno e coseno.

Equation

Passo 3

Agora, precisamos usar as condições de contorno na nossa função.

No caso de uma partícula na caixa, ela está completamente presa dentro da caixa, o que significa que a probabilidade dela ser encontrada fora da caixa é zero.

Equation

Pela continuidade da função de onda, isso nos dá as condições de contorno:

Equation

Equation

Como Equation pela primeira condição, a segunda na verdade nos diz que:

Equation

Temos 3 opções para essa igualdade ser verdadeira:

  • Igualamos Equation . Neste caso, nossa função de onda é sempre zero, e não temos partícula nenhuma.
  • Igualamos Equation , fazendo Equation . Neste caso, novamente nossa função de onda é sempre zero (pois Equation zera o coseno ).
  • Igualamos Equation . Neste caso ficaríamos com Equation , Equation ( Equation a gente recairia em Equation )

A única opção viável é a terceira. Ela nos dá uma restrição no nosso Equation .

Equation

A nossa função de onda fica:

Equation

Equation

Passo 4

Falta uma última coisa que o item nos pede, que é normalizar a função de onda.

Integrando ela de Equation até Equation , temos:

Equation

Pois fora do intervalo, a função é zero, então não contribui pra integral. Precisamos encontrar a constante Equation para que essa equação seja satisfeita.

Resolvendo:

Equation

Pra resolver essa integral, é preciso uma dica dourada, que é:

Equation

Equation

Usando os limites de integração:

Equation

Porém:

Equation

Equation

Equation

As funções de onda normalizadas são:

Equation

Passo 5

Letra c)

Para achar a diferença de energia entre os dois níveis mais baixos do poço, precisamos saber a energia dos estados da partícula presa na caixa.

Para isso, basta igualarmos o Equation que achamos pelas condições de contorno com a definição do nosso Equation .

Equation

Equation

Ou, como Equation , temos:

Equation

Os dois menores níveis de energia correspondem a Equation e Equation . Assim temos:

Equation

Equation

Resposta

Letra a)

Equation

Letra b)

Equation

Letra c)

Equation

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