Exercícios Resolvidos de Partícula na Caixa Unidimensional

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Enunciado

Um elétron que está confinado em um poço de potencial infinito unidimensional de largura L é excitado do estado fundamental para o primeiro estado excitado.

Essa excitação aumenta, diminui ou não tem nenhum efeito sobre a probabilidade de detectar o elétron em uma pequena região:

  1. No centro do poço?
  2. Perto de uma das bordas do poço?

Passo 1

Vamos resolver esse problema com argumentos mais qualitativos, lembrando que a função de onda para o elétron confinado é:

ψ n ⁡ x = 2 / L ∙ sen ⁡ n π L ∙ x

E a densidade de probabilidade de encontrar o elétron é:

ψ n 2 ⁡ x = 2 L ∙ sen 2 ⁡ n π L ∙ x

A probabilidade de encontrar o elétron em uma região vai ser:

∫ a b ψ n 2 x d x

Obs: Você poderia tentar deduzir a fórmula exata da probabilidade e tentar comparar para os dois estados, mas essa análise seria bem mais complicada.

Passo 2

Letra a)

No estado fundamental, temos n = 1 e a densidade de probabilidade fica:

ψ 2 ⁡ x = 2 L ∙ sen 2 ⁡ π L ∙ x

O gráfico fica:

O primeiro estado excitado corresponde a n = 2 .

ψ 2 ⁡ x = 2 L ∙ sen 2 ⁡ 2 π L ∙ x

No primeiro gráfico é possível ver que ψ 2 está mais concentrado no centro da figura, enquanto na segunda o centro tem um mínimo.

Isso significa que a probabilidade de detectar o elétron numa pequena região ao redor do centro da figura diminui.

Passo 3

Letra b)

Usando os mesmos gráficos do item anterior, observa-se o seguinte:

Para n = 1 , a função de onda é mais concentrada no meio da figura e próximo da parede ela é bem pequena, enquanto para n = 2 temos dois máximos mais próximos das paredes, e a função de onda se concentra mais nesses dois máximos.

Como eles são mais próximos das paredes, ψ 2 cresce mais rápido próximo das paredes neste caso e por isso a probabilidade de achar o elétron em uma pequena região próxima da parede será maior.

Resposta

Letra a)

A probabilidade de encontrar o elétron em uma pequena região no centro do poço diminui.

Letra b)

A probabilidade de encontrar o elétron em uma pequena região próxima das paredes aumenta.

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