Exercícios Resolvidos de Partícula na Caixa Unidimensional

UFRJ, Física 4, P2 - 2012.1, Questão D01

Um elétron encontra-se aprisionado num poço de potencial unidimensional infinito de comprimento Equation (caixa quântica).

Este elétron comporta-se como uma corda presa nas extremidades Equation e Equation e está inicialmente no estado fundamental.

Dados Equation , Equation , Equation e Equation , em função dos dados:

  1. Deduza a energia e o momento do elétron.
  2. Encontre o vetor de estado (função de onda) para o estado fundamental, normalizado.
  3. Qual a probabilidade de encontrar o elétron entre Equation e Equation , se ele estiver no segundo estado?
  4. Se o elétron estiver no quarto estado, quais os pontos de menor probabilidade de encontrar o elétron, em função de Equation ?
  5. Se o elétron estiver no quarto estado, quais os pontos de maior probabilidade de encontrar o elétron, em função de Equation ?

Passo 1

Letra (a): Deduza a energia e o momento do elétron.

Para uma onda estacionária, podemos dizer que:

Equation

O momento do elétron é dado por:

Equation

Como o elétron se encontra no estado fundamental, Equation , logo:

Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A energia do elétron é dada por:

Equation

Substituindo a expressão para Equation que acabamos de encontrar:

Equation

Passo 3

Letra (b): Encontre o vetor de estado (função de onda) para o estado fundamental, normalizado.

A expressão geral para a função de onda em um problema de poço de potencial infinito é:

Equation

O valor de Equation é encontrado a partir da condição de normalização, dada por:

Equation

Mas como o elétron está aprisionado na caixa de comprimento Equation , a função de onda só existe no intervalo Equation , os limites de integração serão Equation e Equation .

Equation

Para resolvermos essa integral, podemos fazer a seguinte substituição:

Equation

Equation

Equation

Equation

Substituindo na integral, teremos:

Equation

Segundo o enunciado:

Equation

Logo:

Equation

Equation

Equation

Equation

Substituindo na expressão da função de onda:

Equation

No estado fundamental, Equation , logo:

Equation

Passo 4

Letra (c): Qual a probabilidade de encontrar o elétron entre Equation e Equation , se ele estiver no segundo estado?

Se o elétron estiver no segundo estado, então Equation , e a função de onda é dada por:

Equation

A probabilidade de o elétron estar na região Equation é dada por:

Equation

Logo:

Equation

Para resolvermos essa integral, podemos fazer a seguinte substituição:

Equation

Equation

Equation

Equation

Substituindo na integral, teremos:

Equation

Segundo o enunciado:

Equation

Logo:

Equation

Equation

Passo 5

Letra (d): Se o elétron estiver no quarto estado, quais os pontos de menor probabilidade de encontrar o elétron, em função de Equation ?

A probabilidade de encontrarmos o elétron em um determinado intervalo Equation é dado por:

Equation

Se o elétron estiver no quarto estado, então Equation , e a função de onda é dada por:

Equation

Os pontos de menor probabilidade de encontrarmos o elétron serão os pontos onde: Equation

Logo:

Equation

Isso só é possível quando o argumento da função seno é igual a um número inteiro de Equation :

Equation

Equation

Equation

Logo, os pontos possíveis serão:

Equation

Passo 6

Letra (e): Se o elétron estiver no quarto estado, quais os pontos de maior probabilidade de encontrar o elétron, em função de Equation ?

A probabilidade de encontrarmos o elétron em um determinado intervalo Equation é dado por:

Equation

Se o elétron estiver no quarto estado, então Equation , e a função de onda é dada por:

Equation

Os pontos de maior probabilidade de encontrarmos o elétron serão os pontos onde Equation é máximo. Logo:

Equation

Isso só é possível quando:

Equation

Equation

Equation

Logo, os pontos possíveis serão:

Equation

Resposta

Letra (a):

Equation

Equation

Letra (b):

Equation

Letra (c):

Equation

Letra (d):

Equation

Letra (e):

Equation

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