Exercícios Resolvidos de Partícula na Caixa Unidimensional

USP, Física 4, PSub - 2018, Questão 3

As funções de onda correspondentes aos estados estacionários de uma partícula de massa Equation que se move em uma dimensão confinada em um poço de potencial infinito de largura Equation são dadas por

Equation

Equation Determine a expressão para o comprimento de onda de de Broglie desta partícula para o estado correspondente a Equation

Equation Estime a incerteza mínima na medida do momento linear desta partícula no estado Equation .

Equation Suponha agora que no instante Equation , a partícula encontra-se em um estado dado pela superposição de dois estados estacionários na forma Equation , onde Equation e Equation representam a parte espacial das soluções estacionárias para Equation e Equation , respectivamente, e Equation uma constante. Obtenha Equation e Equation . Expresse sua resposta em termos de Equation e Equation e das demais grandezas que caracterizam o sistema.

Equation O estado Equation acima é um estado estacionário? Justifique sua resposta.

Passo 1

Letra Equation : O comprimento de onda de de Broglie depende do número de onda associado ao estado de Equation . Assim, sabemos que o Equation ésimo número de onda Equation é dado por

Equation

Este número de onda Equation é obtido da imposição das condições de contorno Equation , na equação de Schrödinger independente do tempo.Desta forma, o comprimento de onda de de Broglie é dado por

Equation Para o valor de Equation , temos finalmente que Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Letra Equation : Neste item, precisamos determinar a mínima incerteza do momento associado ao estado Equation . Pelo princípio de incerteza de Heisenberg, temos que a incerteza do momento e da posição se relacionam por

Equation Equation Como se trata de uma desigualdade, a mínima incerteza no momento está vinculada à máxima incerteza na posição quando tomamos a igualdade, ou seja,

Equation

Agora, como a probabilidade de encontrar a partícula em uma região que não seja Equation é nula (pois a função de onda é nula em tais regiões), então a maior incerteza relacionada a posição Equation é igual a largura do potencial, isto é,

Equation

Portanto, temos finalmente que

Equation

Passo 3

Letra Equation : A solução geral da equação de Schrödinger dependente do tempo é dada por

Equation

sendo Equation a parte espacial da solução estacionária Equation , Equation a auto energia associada ao estado Equation e Equation coeficientes que são ajustados de acordo com a condição inicial. Para o nosso caso, as funções Equation são dadas por

Equation

É possível mostrar que Equation

com

Equation

Equation A relação Equation é chamada ortogonalidade das funções Equation .Já os coeficientes Equation são obtidos da seguinte forma

Equation

sendo Equation a condição inicial do problema.

Assim, segundo o enunciado, no instante Equation , temos que

Equation

Vamos calcular Equation . Para tanto, devemos calcular os coeficientes Equation que se ajustam a esta condição inicial. Utilizando a relação que definem os Equation e a relação de ortogonalidade das funções Equation , temos que

Equation

Equation

Equation

Equation

Desta forma, apenas os coeficientes para Equation e Equation que serão diferentes de zero. Os mesmos são dados por

Equation

Portanto, a função Equation é dada por Equation Equation Equation

Passo 4

Agora, vamos calcular Equation . Sabemos que o mesmo é dado por

Equation Equation Equation Equation

Depois de realizar a multiplicação, obtém-se

Equation

Utilizando a fórmula de Euler Equation , podemos escrever que Equation

Portanto, chegamos a Equation

Passo 5

Letra Equation : Um estado estacionário genérico Equation é caracterizado por Equation ser independente do tempo. Para o nosso caso, temos que Equation possui uma dependência temporal devido ao termo Equation . Portanto, o estado Equation obtido no item anterior não é um estado estacionário.

Resposta

  1. Equation
  2. Equation
  3. Equation
  4. e Equation

  5. Não, pois Equation depende explicitamente do tempo.

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