Exercícios Resolvidos de Partícula na Caixa Unidimensional

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Enunciado

As funções de onda correspondentes aos estados estacionários de uma partícula de massa m que se move em uma dimensão confinada em um poço de potencial infinito de largura L são dadas por

Ψ n x , t =   2 L   e - i E n ℏ t sen ⁡ n π x L , p a r a   0 ≤ x   ≤ L 0 , p a r a   d e m a i s   r e g i õ e s

( a ) Determine a expressão para o comprimento de onda de de Broglie desta partícula para o estado correspondente a n = 5

b Estime a incerteza mínima na medida do momento linear desta partícula no estado n = 5 .

c Suponha agora que no instante t = 0 , a partícula encontra-se em um estado dado pela superposição de dois estados estacionários na forma Ψ x , 0 = A ψ 3 x + ψ 4 x , onde ψ 3 x e ψ 4 ( x ) representam a parte espacial das soluções estacionárias para n = 3 e n = 4 , respectivamente, e A uma constante. Obtenha Ψ ( x , t ) e Ψ x , t 2 . Expresse sua resposta em termos de ψ 3 ( x ) e ψ 4 ( x ) e das demais grandezas que caracterizam o sistema.

d O estado Ψ ( x , t ) acima é um estado estacionário? Justifique sua resposta.

Passo 1

Letra a : O comprimento de onda de de Broglie depende do número de onda associado ao estado de n = 5 . Assim, sabemos que o n - ésimo número de onda k n é dado por

k n = n π L ,                       n = 1 ,   2 ,   3 ,   ⋯

Este número de onda k n é obtido da imposição das condições de contorno ψ 0 = ψ L = 0 , na equação de Schrödinger independente do tempo.Desta forma, o comprimento de onda de de Broglie é dado por

λ n = 2 π k n = 2 π n π L = 2 L n Para o valor de n = 5 , temos finalmente que λ 5 = 2 L 5

Passo 2

Letra b : Neste item, precisamos determinar a mínima incerteza do momento associado ao estado n = 5 . Pelo princípio de incerteza de Heisenberg, temos que a incerteza do momento e da posição se relacionam por

Δ p Δ x   ≥ ℏ 2 Como se trata de uma desigualdade, a mínima incerteza no momento está vinculada à máxima incerteza na posição quando tomamos a igualdade, ou seja,

Δ p m í n Δ x m á x = ℏ 2

Agora, como a probabilidade de encontrar a partícula em uma região que não seja 0 ≤ x ≤ L é nula (pois a função de onda é nula em tais regiões), então a maior incerteza relacionada a posição x é igual a largura do potencial, isto é,

Δ x m á x =   L

Portanto, temos finalmente que

Δ p m í n = ℏ 2 Δ x m á x = ℏ 2 L

Passo 3

Letra c : A solução geral da equação de Schrödinger dependente do tempo é dada por

Ψ x , t =   ∑ n = 1 + ∞ c n Ψ n ( x , t ) =   ∑ n = 1 + ∞ c n ψ n x e - i E n t ℏ

sendo ψ n ( x ) a parte espacial da solução estacionária Ψ n ( x , t ) , E n a auto energia associada ao estado n e c n coeficientes que são ajustados de acordo com a condição inicial. Para o nosso caso, as funções ψ n ( x ) são dadas por

ψ n x = 2 L sen ⁡ n π x L

É possível mostrar que ∫ - ∞ + ∞ ψ n * x ψ m x d x = δ m n

com

δ m n =   1 , m = n 0 , m ≠ n

A relação ∫ - ∞ + ∞ ψ n * x ψ m x d x = δ m n é chamada ortogonalidade das funções ψ n x .Já os coeficientes c n são obtidos da seguinte forma

c n =   ∫ - ∞ + ∞ ψ n * x Ψ x , 0 d x

sendo Ψ ( x , 0 ) a condição inicial do problema.

Assim, segundo o enunciado, no instante t = 0 , temos que

Ψ x , 0 = A ψ 3 x + ψ 4 x

Vamos calcular Ψ x , t . Para tanto, devemos calcular os coeficientes c n que se ajustam a esta condição inicial. Utilizando a relação que definem os c n e a relação de ortogonalidade das funções ψ n ( x ) , temos que

c n =   ∫ - ∞ + ∞ ψ n * x Ψ x , 0 d x

c n =   ∫ - ∞ + ∞ ψ n * x   A ψ 3 x +   ψ 4 ( x ) d x

c n =   A ∫ - ∞ + ∞ ψ n * x ψ 3 x d x + A ∫ - ∞ + ∞ ψ n * x ψ 4 x d x

c n = A δ n 3 + A δ n 4

Desta forma, apenas os coeficientes para n = 3 e n = 4 que serão diferentes de zero. Os mesmos são dados por

c 3 = c 4 = A

Portanto, a função Ψ ( x , t ) é dada por Ψ x , t = A ψ 3 x   e - i E 3 t ℏ +   ψ 4 x   e - i E 4 t ℏ Ψ x , t = 2 L A sen ⁡ 3 π x L   e - i E 3 t ℏ + sen ⁡ 4 π x L   e - i E 4 t ℏ

Passo 4

Agora, vamos calcular Ψ x , t 2 . Sabemos que o mesmo é dado por

Ψ x , t 2 =   Ψ * x , t Ψ ( x , t ) U t i l i z a n d o   o   r e s u l t a d o   d o   p a s s o   a n t e r i o r ,   t e m o s   q u e Ψ x , t 2 = 2 L A * sen ⁡ 3 π x L   e + i E 3 t ℏ + sen ⁡ 4 π x L   e + i E 4 t ℏ × 2 L A sen ⁡ 3 π x L   e - i E 3 t ℏ + sen ⁡ 4 π x L   e - i E 4 t ℏ

Depois de realizar a multiplicação, obtém-se

Ψ x , t 2 = 2 A 2 L   sen 2 ⁡ 3 π x L + sen 2 ⁡ 4 π x L + sen ⁡ 3 π x L sen ⁡ 4 π x L e i E 3 - E 4 t ℏ + e - i E 3 - E 4 t ℏ  

Utilizando a fórmula de Euler e i θ = cos ⁡ θ + i sen ⁡ θ , podemos escrever que e i E 3 - E 4 t ℏ +   e - i E 3 - E 4 t ℏ = 2 cos ⁡ E 3 - E 4 t ℏ

Portanto, chegamos a Ψ x , t 2 =   2 A 2 L   sen 2 ⁡ 3 π x L + sen 2 ⁡ 4 π x L + 2 sen ⁡ 3 π x L sen ⁡ 4 π x L cos ⁡ E 3 - E 4 t ℏ

Passo 5

Letra ( d ) : Um estado estacionário genérico Ψ ( x , t ) é caracterizado por Ψ x , t 2 ser independente do tempo. Para o nosso caso, temos que Ψ x , t 2 possui uma dependência temporal devido ao termo cos ⁡ E 3 - E 4 t ℏ . Portanto, o estado Ψ ( x , t ) obtido no item anterior não é um estado estacionário.

Resposta

  1. λ 5 = 2 L 5
  2. Δ p m í n = ℏ 2 L
  3. Ψ x , t = 2 L A sen ⁡ 3 π x L   e - i E 3 t ℏ + sen ⁡ 4 π x L   e - i E 4 t ℏ
  4. e Ψ x , t 2 =   2 A 2 L   sen 2 ⁡ 3 π x L + sen 2 ⁡ 4 π x L + 2 sen ⁡ 3 π x L sen ⁡ 4 π x L cos ⁡ E 3 - E 4 t ℏ

  5. Não, pois Ψ x , t 2 depende explicitamente do tempo.

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