Exercícios Resolvidos de Partícula na Caixa Unidimensional

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Enunciado

Uma partícula de massa m está confinada em um poço de potencial infinito (“caixa unidimensional”), tal que

V x = 0 ,     0 ≤ x ≤ a ∞ ,   x < 0   o u   x > a

(a) A partir da equação de Schrödinger, verifique que ψ ( x )   =   2 a   s e n ( 3 π a x ) é uma função de onda possível para representar o estado quântico dessa partícula e, com isso, encontre a energia associada a esse estado.

(b) Encontre o valor esperado da posição da partícula no estado do item (a).

Passo 1

A fórmula geral de Schrödinger é dada por

- ћ 2 2 m d 2 φ x d x 2 + U x . φ x = E φ x

Mas nesse caso queremos o estado da partícula em 1D quando está esta dentro do poço, ou seja, pelo enunciado vemos que quando a partícula esta dentro do poço V(x)=0 logo U(x)=0 dentro do poço, dessa forma podemos reescrever a equação de Schrödinger como

- ћ 2 2 m d 2 φ x d x 2 = E φ x

Já sabemos que

ψ ( x )   =   2 a   s e n ( 3 π a x )

E a derivada segunda será

d 2 φ x d x 2 = - 2 a   . 3 π a 2 . s e n ( 3 π a x )

Passo 2

Substituindo as funções na equações teremos que

- ћ 2 2 m - 2 a   . 3 π a 2 . s e n 3 π a x = E   2 a   s e n ( 3 π a x )

Isolando a energia, teremos que

E = - ћ 2 2 m - 2 a   . 3 π a 2 . s e n 3 π a x 2 a   s e n ( 3 π a x )

E = - ћ 2 2 m -   3 π a 2

E = 9 ћ 2 π 2 2 m a 2

Agora vale lembrar que se fizéssemos esse mesmo calculo mas para um nível n do poço infinito, teriamos que

ψ ( x )   =   2 a   s e n ( n π a x )

d 2 φ x d x 2 = - 2 a   . n π a 2 . s e n ( n π a x )

Substituindo

- ћ 2 2 m - 2 a   . n π a 2 . s e n n π a x = E   2 a   s e n ( n π a x )

E = - ћ 2 2 m - 2 a   . n π a 2 . s e n n π a x 2 a   s e n ( 3 π a x )

E = - ћ 2 2 m -   n π a 2

E = n 2 ћ 2 π 2 2 m a 2

Comparando as duas fórmulas teremos que

n 2 ћ 2 π 2 2 m a 2 = 9 ћ 2 π 2 2 m a 2

n 2 = 9

n = 3

Ou seja, corresponde à energia do terceiro nível (n=3) do poço infinito.

Passo 3

Para descobrirmos o valor esperado da posição da partícula precisamos usar a integração

x = ∫ 0 L ψ x . x . ψ x * d x = ∫ 0 L x . ( ψ x 2 ) d x

x = ∫ 0 L 2 a   . x . s e n 3 π a x 2 d x

x = ∫ 0 L 2 a   . x . s e n 2 3 π a x d x

Resolvendo essa integral teremos que

x = 2 a a 2 4 = a 2

Resposta

  1. E = 9 ћ 2 π 2 2 m a 2     energia do terceiro nível (n=3) do poço infinito
  2. x = a 2

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