Exercícios Resolvidos de Partícula na Caixa Unidimensional

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Enunciado

Uma partícula de massa m encontra-se confinada em uma caixa unidimensional c , descrita pela região 0 ≤ x ≤ 2 L .

A energia potencial é U x = 0 para pontos no interior da caixa e U x = ∞ para pontos fora da caixa.

  1. Obtenha a expressão geral para os níveis quânticos de energia.
  2. Encontre as funções de onda normalizadas associadas a estes níveis.
  3. Ao diminuir-se o valor de L , o que ocorre com a energia do estado fundamental? Discuta este fato de maneira breve, em termos puramente qualitativos.
  4. Qual é a probabilidade de se encontrar a partícula na região 0 ≤ x ≤ L 2 para o 1 º estado excitado do sistema?

Passo 1

Letra a)

Primeiro, vamos dividir a caixa em três regiões:

Vamos começar montando a equação de Schrödinger para cada uma delas.

- ℏ 2 2 m d 2 ψ x d x 2 + U x ψ x = E ψ ( x )

Na Região I e I I I , o potencial é infinito, o que faz com que obrigatoriamente a função de onda se anule.

ψ I x = ψ I I I x = 0

Na região I I , como U x = 0 , ficaremos com:

- ℏ 2 2 m d 2 ψ x d x 2 = E ψ ( x )

Rearrumando, temos:

d 2 ψ x d x 2 = - k 2   ψ x

k 2 = 2 m E ℏ 2

A solução dessa equação diferencial é uma soma de funções trigonométricas!

ψ I I x = A cos ⁡ k x + B sen ⁡ k x

Como a função de onda fora da caixa é zero, nas paredes da caixa a nossa função também tem que zerar. Isso nos diz duas coisas:

ψ I I 0 = A = 0

ψ I I 2 L = B sen ⁡ 2 k L = 0

Para a segunda equação ser satisfeita, ou fazemos B = 0 ,o que não é possível, pois nesse caso não teria função de onda (ela seria zero em todo lugar), ou sen ⁡ 2 k L = 0 .

O seno é sempre zero quando:

2 k L = n π ;     n = 0,1 , 2 , …

Rearrumando, isso nos diz como k tem que ser!

k = n π 2 L ;       n = 0,1 , 2 , …

Mas o nosso k dependia da energia. Se ele é quantizado (pois n = 0 , 1,2 , 3 … ), a energia também vai ter que ser. Vamos igualar a condição do nosso k com a definição dele.

k 2 = n 2 π 2 4 L 2 = 2 m E ℏ 2 = 2 m E h 2 / 4 π 2

E = n 2 ∙ h 2 32 m L 2

Não se assuste se você viu uma fórmula onde o denominador era 8 m L 2 . A diferença entre elas é o tamanho da caixa: Em uma é L e na outra é 2 L .

Passo 2

Letra b)

A função de onda dos níveis de energia vai ser:

ψ x = B sen ⁡ n π 2 L x ⁡

Para normalizá-la, vamos integrar o seu quadrado em todo o eixo x e igualar a 1 (sendo que fora do intervalo de 0 a 2 L , ela é nula).

∫ - ∞ ∞ ψ 2 x d x = ∫ 0 2 L B 2 sen 2 ⁡ n π 2 L x d x = 1

Precisamos pegar emprestada uma relação da trigonometria, que diz o seguinte:

sen 2 ⁡ a = 1 - cos ⁡ ( 2 a ) 2

Substituindo:

∫ 0 2 L B 2 sen 2 ⁡ n π 2 L x d x = ∫ 0 2 L B 2 1 2 - cos ⁡ n π L x 2 d x = B 2 ∙ x 2 - L 2 n π sen ⁡ n π L x 0 2 L

Como sen ⁡ 2 n π = 0 ;     n = 0 , 1,2 , … , vamos ter que:

1 = ∫ 0 2 L B 2 sen 2 ⁡ n π 2 L x d x = B 2 2 ∙ 2 L - 0 - 0 = B 2 2 ∙ 2 L →     B 2 ∙ L = 1

B = 1 L = 1 L

A função de onda normalizada então é:

ψ x = 0 s e   x < 0 1 L sen ⁡ n π 2 L x s e   0 ≤ x ≤ 2 L 0 s e   x > 2 L

Passo 3

Letra c)

A energia do estado fundamental corresponde a n = 1 . Substituindo:

E 1 = 1 2 ∙ h 2 32 m L 2 = h 2 32 m L 2

Ou seja, a energia do estado fundamental é inversamente proporcional ao quadrado de L .

Se L diminuir, L 2 também diminui, enquanto 1 / L 2 vai aumentar, aumentando a energia do estado fundamental.

Passo 4

Letra d)

A probabilidade de se encontrar a partícula no intervalo 0 ≤ x ≤ L 2 para o primeiro estado excitado ( n = 2 ) é dada pela seguinte integral:

P = ∫ 0 L / 2 ψ 2 x d x = ∫ 0 L / 2 1 L ∙ sen 2 ⁡ 2 π 2 L x d x = ∫ 0 L / 2 1 L ∙ sen 2 ⁡ π L x d x

Que é semelhante à que encontramos antes!

P = ∫ 0 L / 2   1 L sen 2 ⁡ π L x d x = ∫ 0 L / 2 1 L 1 2 - cos ⁡ 2 π L x 2 d x = 1 L ∙ x 2 - L 4 π sen ⁡ 2 π L x 0 L / 2

P = 1 L ∙ L 4 = 1 4 = 25 %

A probabilidade corresponde a 25 % !

Resposta

Letra a)

E = n 2 ∙ h 2 32 m L 2

Letra b)

ψ x = 0 s e   x < 0 1 L sen ⁡ n π 2 L x s e   0 ≤ x ≤ 2 L 0 s e   x > 2 L

Letra c)

Se L diminuir a energia do estado fundamental aumenta.

Letra d)

P = 1 4

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