Exercícios Resolvidos de Partícula na Caixa Unidimensional

UFRJ, Física 4, P2 - 2016.1, Questão D2

Uma partícula de massa Equation encontra-se confinada em uma caixa unidimensional Equation , descrita pela região Equation .

A energia potencial é Equation para pontos no interior da caixa e Equation para pontos fora da caixa.

  1. Obtenha a expressão geral para os níveis quânticos de energia.
  2. Encontre as funções de onda normalizadas associadas a estes níveis.
  3. Ao diminuir-se o valor de Equation , o que ocorre com a energia do estado fundamental? Discuta este fato de maneira breve, em termos puramente qualitativos.
  4. Qual é a probabilidade de se encontrar a partícula na região Equation para o Equation estado excitado do sistema?

Passo 1

Letra a)

Primeiro, vamos dividir a caixa em três regiões:

Vamos começar montando a equação de Schrödinger para cada uma delas.

Equation

Na Região Equation e Equation , o potencial é infinito, o que faz com que obrigatoriamente a função de onda se anule.

Equation

Na região Equation , como Equation , ficaremos com:

Equation

Rearrumando, temos:

Equation

Equation

A solução dessa equação diferencial é uma soma de funções trigonométricas!

Equation

Como a função de onda fora da caixa é zero, nas paredes da caixa a nossa função também tem que zerar. Isso nos diz duas coisas:

Equation

Equation

Para a segunda equação ser satisfeita, ou fazemos Equation ,o que não é possível, pois nesse caso não teria função de onda (ela seria zero em todo lugar), ou Equation .

O seno é sempre zero quando:

Equation

Rearrumando, isso nos diz como Equation tem que ser!

Equation

Mas o nosso Equation dependia da energia. Se ele é quantizado (pois Equation ), a energia também vai ter que ser. Vamos igualar a condição do nosso Equation com a definição dele.

Equation

Equation

Não se assuste se você viu uma fórmula onde o denominador era Equation . A diferença entre elas é o tamanho da caixa: Em uma é Equation e na outra é Equation .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Letra b)

A função de onda dos níveis de energia vai ser:

Equation

Para normalizá-la, vamos integrar o seu quadrado em todo o eixo Equation e igualar a Equation (sendo que fora do intervalo de Equation a Equation , ela é nula).

Equation

Precisamos pegar emprestada uma relação da trigonometria, que diz o seguinte:

Equation

Substituindo:

Equation

Como Equation , vamos ter que:

Equation

Equation

A função de onda normalizada então é:

Equation

Passo 3

Letra c)

A energia do estado fundamental corresponde a Equation . Substituindo:

Equation

Ou seja, a energia do estado fundamental é inversamente proporcional ao quadrado de Equation .

Se Equation diminuir, Equation também diminui, enquanto Equation vai aumentar, aumentando a energia do estado fundamental.

Passo 4

Letra d)

A probabilidade de se encontrar a partícula no intervalo Equation para o primeiro estado excitado ( Equation ) é dada pela seguinte integral:

Equation

Que é semelhante à que encontramos antes!

Equation

Equation

A probabilidade corresponde a Equation !

Resposta

Letra a)

Equation

Letra b)

Equation

Letra c)

Se Equation diminuir a energia do estado fundamental aumenta.

Letra d)

Equation

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