Exercícios Resolvidos de Polias Móveis

USP- P1-2014-Q4

Considere o sistema com plano inclinado envolvendo polias esquematizado na figura abaixo. Não considere atrito. Assuma também que a massa das polias e dos fios são desprezíveis em comparação às massas m 1 e m 2 dos blocos 1 e 2 , respectivamente. Além disso, os fios não se esticam ou se deformam em geral. Note que a polia que sustenta o bloco 2 está conectada ao fio ligado ao bloco 1 e, assim, essa polia não está fixa.

a ) Esboce o diagrama das forças envolvidas, escreva a relação entre as diferentes tensões nos fios, e expresse a Segunda Lei de Newton para cada caso.

b ) Demonstre a relação entre a aceleração a 1 do bloco 1 e a aceleração a 2 do bloco 2 .

c ) Encontre o valor do ângulo α no qual a 1 muda de sinal.

d ) Obtenha a expressão geral para a 1

e ) Calcule o valor a 1 nos limites: m 2 / m 1 → 0 e m 1 / m 2 → 0 .

Passo 1

a )

Como assumimos que a massa da polia pequena é nula, a força resultante sobre ela é nula e assim ela dividirá igualmente a força entre os dois fios. Portanto, vemos que T 1 = 2 T 2 .

As forças resultantes em cada corpo são:

T 1 - m 1 . g . sen ⁡ α = m 1 a 1

m 2 . g - T 2 = m 2 a 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b )

Bom, vamos imaginar que o corpo 1 suba uma distância x 1 t , sendo x 1 ' ' t = a 1 . Como os fios estão conectados e sempre esticados, o corpo 2 descerá uma distância x 2 t , sendo x 2 ' ' t = a 2 .

Muito bem, agora é importante ter bastante atenção e imaginação ao observar a figura. Como os fios estão conectados e esticados, quando o corpo 1 subir uma distância x 1 t , a polia menor obrigatoriamente descerá uma distância x 1 t .

Quando a polia menor descer uma distância x 1 t , o corpo 2 descerá uma distância x 1 t , visto que seu ponto de apoio é a polia menor, se seu ponto de apoio descer, você desce junto. Mas, o fio apoiado na parte esquerda da polia menor não poderá descer essa distância x 1 t , justamente por estar preso em um suporte. O que acontecerá então? Bem, a distância x 1 t que o lado esquerdo do fio não desceu será transferido ao lado direito! Girando a polia menor e jogando mais fio do lado direito. Dessa forma, em vez de descer uma distância x 1 t , o corpo 2 descerá uma distância 2 x 1 t .

Logo, temos finalmente que:

x 2 t = 2 x 1 t

a 2 = x 2 ' ' t

a 2 = 2 x 1 t ' '

a 2 = 2 x 1 ' ' t

a 2 = 2 a 1

Passo 3

c )

A aceleração a 1 muda de sinal quando passa pelo zero. Assim, fazemos a 1 = a 2 = 0 nas equações do item a :

T 1 - m 1 . g . sen ⁡ α = m 1 a 1

T 1 - m 1 . g . sen ⁡ α = m 1 . 0

T 1 = m 1 . g . sen ⁡ α

Agora a segunda equação:

m 2 . g - T 2 = m 2 a 2

Lembrando que T 2 = T 1 2 , Logo:

m 2 . g - T 1 2 = m 2 . 0

T 1 = 2 . m 2 . g

Igualando essas expressões encontramos:

m 1 . g . sen ⁡ α = 2 . m 2 . g

sen ⁡ α = 2 m 2 m 1

α   = arcsin ⁡ 2 m 2 m 1

Passo 4

d )

Usando que a 2 = 2 a 1 e T 1 = 2 T 2 , manipulamos as expressões para as forças resultantes para mostrar diretamente que:

T 1 - m 1 . g . sen ⁡ α = m 1 a 1

m 2 . g - T 2 = m 2 a 2

Substituindo na segunda equação:

m 2 . g - T 1 2 = m 2 . 2 a 1

Ficando com o sistema:

T 1 - m 1 . g . sen ⁡ α = m 1 a 1 m 2 . g - T 1 2 = m 2 . 2 a 1

Multiplicando a segunda equação por 2 :

+ T 1 - m 1 . g . sen ⁡ α = m 1 a 1 2 m 2 . g - T 1 = 4 . m 2 . a 1

Somando as equações ficamos com:

2 . m 2 . g - m 1 . g . sen ⁡ α = a 1 m 1 + 4 . m 2

a 1 = g 2 . m 2 - m 1 . sen ⁡ α m 1 + 4 . m 2

Dividindo o numerador e denominador por m 1 , ficamos com:

a 1 = g 2 m 2 m 1 - sen ⁡ α 4 m 2 m 1 + 1

Passo 5

e )

Utilizando a expressão do item anterior, vamos começar com m 2 / m 1 → 0 que é o mais fácil:

a 1 = g 2 m 2 m 1 - sen ⁡ α 4 m 2 m 1 + 1

a 1 m 2 / m 1 → 0     = g 2   .   0 - sen ⁡ α 4   .   0 + 1

a 1 m 2 / m 1 → 0     = - g . sen ⁡ α

Agora para analisar m 1 / m 2 → 0 , precisamos fazer isso aparecer na expressão. Então vamos multiplicar o numerador e denominador por m 1 / m 2 :

a 1 = g 2 m 2 m 1 - sen ⁡ α 4 m 2 m 1 + 1

a 1 = g m 1 m 2 2 m 2 m 1 - sen ⁡ α m 1 m 2 4 m 2 m 1 + 1

a 1 = g 2 - m 1 m 2 sen ⁡ α 4 + m 1 m 2

Logo:

a 1 m 1 / m 2 → 0     = g 2 - 0   .   sen ⁡ α 4 + 0

a 1 m 1 / m 2 → 0     = g 2

Resposta

a )

  T 1 = 2 T 2

T 1 - m 1 . g . sen ⁡ α = m 1 a 1

m 2 . g - T 2 = m 2 a 2

b )   a 2 = 2 a 1

c ) α   = arcsin ⁡ 2 m 2 m 1

d )   a 1 = g 2 m 2 m 1 - sen ⁡ α 4 m 2 m 1 + 1

e ) a 1 m 2 / m 1 → 0     = - g . sen ⁡ α

a 1 m 1 / m 2 → 0     = g 2

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