Exercícios Resolvidos de Polias Móveis

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Enunciado

No sistema da figura m 1   =   1   k g , m 2   =   3   k g e m 3   =   2   k g e as massas das polias e das cordas são desprezíveis. Calcule as acelerações a 1 ,   a 2 e a 3 das massas m 1 ,   m 2 e m 3 e a tensão T na corda.

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá o seguinte sistema de blocos suspensos, através de cordas, pelas polias:

Nesse sentido, temos que calcular as acelerações a 1 ,   a 2 e a 3 das massas m 1 ,   m 2 e m 3 e a tensão T na corda.

Para isso, podemos perceber que a quantidade de cabos é a mesma para todo o momento do nosso sistema. Dessa forma, temos:

Onde x 1 + x 2 + 2 x 3 = k .

Sendo k uma constante qualquer.

Dessa forma, em conjunto com o diagrama de forças, podemos aplicar a derivada segunda para descobrirmos a aceleração do sistema!!

E aí? Bora lá?

😉

Passo 2

Então... aplicando a derivada segunda na equação do Passo 1, temos:

d 2 d t 2 x 1 + d 2 d t 2 x 2 + 2 d 2 d t 2 x 3 = d 2 d t 2 k ∴

a 1 + a 2 + 2 a 3 = 0

Já para o diagrama de corpo livre do sistema, temos:

Aplicando a 2ª Lei de Newton, temos:

  • Corpo 1:
  • T - g = m 1 a 1 ∴

    T - g = a 1

  • Corpo 2:
  • T - 3 g = m 2 a 2 ∴

    T - 3 g = 3 a 2

  • Corpo 3:
  • 2 T - 2 g = m 3 a 3 ∴

    2 T - 2 g = 2 a 3 ∴

    T - g = a 3

    Passo 3

    Assim, supondo que o sentido de aceleração dos corpos seja para cima (se a suposição estiver incorreta o resultado será negativo, então pode ficar tranquilo hehe), temos:

    a 1 = - 2 a 3 + a 2

    Nesse sentido, temos o seguinte sistema:

    T - g = a 1 T - 3 g = 3 a 2 T - g = a 3 a 1 = - 2 a 3 + a 2 ∴

    T - g = a 1 T 3 - g = a 2 T - g = a 3 a 1 = - 2 a 3 + a 2

    Substituindo as acelerações das três primeiras equações na quarta, temos:

    T - g = - 2 T - g + T - 3 g 3 ∴

    T + 2 T + T 3 = 3 g + g ∴

    T = 1,2 g ∴

    T = 11,76   N

    Passo 4

    Assim, substituindo no sistema, encontramos as acelerações:

  • a 1 :
  • T - g = a 1 ∴

    a 1 = 1,2 g - g ∴

    a 1 = 0,2 g = 1,96 m / s 2

  • a 2 :
  • T 3 - g = a 2 ∴

    a 2 = 0,4 g - g ∴

    a 2 = - 0,6 g = - 5,88   m / s 2

  • a 3 :

T - g = a 3 ∴

a 3 = 1,2 g - g ∴

a 3 = 0,2 g = 1,96 m / s 2

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

T = 11,76   N

a 1 = a 3 = 1,96 m / s 2

a 2 = - 5,88   m / s 2

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