Exercícios Resolvidos de Polias Móveis

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Enunciado

Três blocos estão conectados entre si por roldanas e fios ideais, como mostrado no esquema na figura 2.11 . Não há atrito entre as massas e as mesas e a aceleração da gravidade é g .

( b ) Suponha agora que as massas sejam todas diferentes. Determine

i . A relação entre as acelerações das massas m 1 , m 2 e M ;

i i . A aceleração de M ;

i i i . A tensão T no fio.

Passo 1

Oiie, tudo bem?

Temos o seguinte esquema

Nesta situação temos que as três massas são diferentes, e tendo isso em vista precisamos determinar

i . A relação entre as acelerações das massas m 1 , m 2 e M ;

i i . A aceleração de M ;

i i i . A tensão T no fio.

Para encontrar estas grandezas vamos estudar o seguinte diagrama de forças

E, usar a segunda lei de Newton! Então… Bora lá!

Passo 2

O corpo de massa M obedece a seguinte equação

T - P = - M   a M

para os outros corpos de forma que

T 2 = m 1 a 1 e T 2 = m 2 a 2

dividindo uma equação pela outra temos então a relação entre as acelerações como

1 = m 1 a 1 m 2 a 2

ou simplesmente

a 1 a 2 = m 2 m 1         ( 1 )

Agora, para obter a relação entre a aceleração do corpo de massa M vamos tentar lembrar um pouco da teoria das polias móveis!

Passo 3

Uma polia móvel reduz a força necessária para se mover por 2 a cada polia móvel aplicada, e portanto, esta polia reduz a aceleração do bloco pela metade. Tendo em vista que a aceleração do sistema acima da polia é uma resultante entre ambos os corpos, temos que

a M = a 1 + a 2 2           ( 2 )

Com isso podemos encontrar as acelerações explicitamente! Note que

T = 2 m 1 a 1 = 2 m 2 a 2

temos também que

T = M g - M a M

portanto

a M = g - 2 m 1 a 1 M

como temos que

2 a M = a 1 + a 2

podemos escrever

a 1 + a 2 = 2 g - 4 m 1 a 1 M

usando a relação ( 1 ) temos que

a 1 + m 1 a 1 m 2 + 4 m 1 a 1 M = 2 g M

ou isolando a aceleração

a 1 = 2 g M 1 ( 1 + m 1 m 2 + 4 m 1 M ) = 2 g m 2 M ( 4 m 1 m 2 + M ( m 1 + m 2 ) )

novamente da relação ( 1 ) obtemos que

a 2 = 2 g m 1 M ( 4 m 1 m 2 + M ( m 1 + m 2 ) )

e, finalmente usando a relação ( 2 )

a M = g ( m 1 + m 2 ) M ( 4 m 1 m 2 + M ( m 1 + m 2 ) )

Vamos achar as tensões agora!

Passo 4

Tendo as acelerações as tensões podem ser obtidas de maneira mais direta! Note que

T = 2 m 1 a 1 = 2 m 2 a 2

ou simplesmente

T = 4 g m 1 m 2 M ( 4 m 1 m 2 + M ( m 1 + m 2 ) )

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

i . a 1 a 2 = m 2 m 1   e   a M = a 1 + a 2 2  

i i .   a 1 = 2 g m 2 M ( 4 m 1 m 2 + M ( m 1 + m 2 ) )   , a 2 = 2 g m 1 M ( 4 m 1 m 2 + M ( m 1 + m 2 ) )   e   a M = g ( m 1 + m 2 ) M ( 4 m 1 m 2 + M ( m 1 + m 2 ) )

i i i .   T = 4 g m 1 m 2 M ( 4 m 1 m 2 + M ( m 1 + m 2 ) )

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